Question

15．如图，已知直线EF交x轴于点E（18，0），交y轴于点F，∠FEO=30°，C、D为EF上两点，且两点的横坐标分别为12和6；DA⊥y轴于点A，CB⊥y轴于点B，CQ⊥x轴于点Q．
（1）求直线EF的解析式，以及点A和点B的坐标；
（2）P为直线CD上一动点，连结PQ，OP，探究△POQ的周长，并求出当周长最小时，P的坐标及此时的该三角形的周长；
（3）点N从点Q（12，0）出发，沿着x轴以每秒1个单位长度的速度向点O运动，同时另一动点M从点B开始沿B-C-D-A的方向绕梯形ABCD运动，运动速度为每秒为2个单位长度，当其中一个点到达终点时，另一点也停止运动，设运动时间为t秒，连结MO和MN，试探究当t为何值时MO=MN．

Answer 1

分析 （1）首先求出点F的坐标，利用待定系数法即可解决问题；
（2）作点Q关于直线CD的对称点Q′，易知Q′（15，3$\sqrt{3}$），连接OQ′交CD于P，此时△OPQ的周长最小．求出直线OQ′的解析式，利用方程组求出解得P的坐标即可解决问题；
（3）观察图象可知，只有点M在BC上时，存在OM=MN，如图：作MH⊥ON于H．构建方程即可解决问题；

解答 解：（1）在Rt△EOF中，∵OE=18，∠OEF=30°，
∴OF=OE•tan30°=6$\sqrt{3}$，
∴F（0，6$\sqrt{3}$），
设直线EF的解析式为y=kx+b，则有$\left\{\begin{array}{l}{18k+b=0}\\{b=6\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{b=6\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
∴$y=-\frac{{\sqrt{3}}}{3}x+6\sqrt{3}$；
∵D（6，4$\sqrt{3}$），C（12，2$\sqrt{3}$），
∴$A（{0，4\sqrt{3}}），B（{0，2\sqrt{3}}）$．

（2）作点Q关于直线CD的对称点Q′，易知Q′（15，3$\sqrt{3}$），连接OQ′交CD于P，此时△OPQ的周长最小．

∵直线OQ′的解析式为y=$\frac{\sqrt{3}}{5}$x，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{\sqrt{3}}{5}x}\\{y=-\frac{\sqrt{3}}{3}x+6\sqrt{3}}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{45}{4}}\\{y=\frac{9\sqrt{3}}{4}}\end{array}\right.$，
∴$P（{\frac{45}{4}，\frac{9}{4}\sqrt{3}}）$；
∴OP+PQ=OQ′=6$\sqrt{7}$
周长最小值是12+6$\sqrt{7}$．

（3）观察图象可知，只有点M在BC上时，存在OM=MN，如图：作MH⊥ON于H．

∵OM=MN，MH⊥ON，
∴OH=HN=BM=2t，
∴4t+t=12，
∴t=$\frac{12}{5}$．
∴t=$\frac{12}{5}$时，OM=MN．

点评 本题考查一次函数的应用、轴对称最短问题等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法确定函数解析式，学会利用对称解决最短问题，学会用方程的思想思考问题，属于中考常压轴题．