Question

【题目】如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于C（0，3），直线y=+m经过点C，与抛物线的另一交点为点D，点P是直线CD上方抛物线上的一个动点，过点P作PF⊥x轴于点F，交直线CD于点E，设点P的横坐标为m．

（1）求抛物线解析式并求出点D的坐标；

（2）连接PD，△CDP的面积是否存在最大值？若存在，请求出面积的最大值；若不存在，请说明理由；

（3）当△CPE是等腰三角形时，请直接写出m的值．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+2x+3，D点坐标为（）；（2）当m=时，△CDP的面积存在最大值，最大值为；（3）m的值为 或 或．

【解析】

（1）利用待定系数法求抛物线解析式和直线CD的解析式，然后解方程组得D点坐标；
（2）设P（m，-m2+2m+3），则E（m，-m+3），则PE=-m2+m，利用三角形面积公式得到S△PCD=××（-m2+m）=-m2+m，然后利用二次函数的性质解决问题；
（3）讨论：当PC=PE时，m2+（-m2+2m+3-3）2=（-m2+m）2；当CP=CE时，m2+（-m2+2m+3-3）2=m2+（-m+3-3）2；当EC=EP时，m2+（-m+3-3）2=（-m2+m）2，然后分别解方程即可得到满足条件的m的值．

（1）把A（﹣1，0），C（0，3）分别代入y=﹣x2+bx+c得，解得，

∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3；

把C（0，3）代入y=﹣x+n，解得n=3，

∴直线CD的解析式为y=﹣x+3，

解方程组，解得

或，

∴D点坐标为（，）；

（2）存在．

设P（m，﹣m2+2m+3），则E（m，﹣m+3），

∴PE=﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+m，

∴S△PCD=（﹣m2+m）=﹣m2+m=﹣（m﹣）2+，

当m=时，△CDP的面积存在最大值，最大值为；

（3）当PC=PE时，m2+（﹣m2+2m+3﹣3）2=（﹣m2+m）2，解得m=0（舍去）或m=；

当CP=CE时，m2+（﹣m2+2m+3﹣3）2=m2+（﹣m+3﹣3）2，解得m=0（舍去）或m=（舍去）或m=；

当EC=EP时，m2+（﹣m+3﹣3）2=（﹣m2+m）2，解得m=（舍去）或m=，

综上所述，m的值为或或．