Question

20．如图，BC是⊙O的直径，AD是⊙O的切线，切点为D，AD与CB的延长线交于点A，∠C=30°，给出下面四个结论：
①AD=DC；②AB=BD；③AB=$\frac{1}{2}$BC；④BD=CD，
其中正确的个数为（　　）

• A． 4个
• B． 3个
• C． 2个
• D． 1个

Answer 1

分析 利用圆周角定理结合切线的性质得出∠BDC=∠ADO=90°，进而得出∠A，∠ADB的度数即可得出答案，再利用直角三角形中30°所对的边等于斜边的一半进而得出AB=$\frac{1}{2}$BC，判断即可．

解答 解：连接DO，
∵BC是⊙O的直径，AD是⊙O的切线，切点为D，
∴∠BDC=∠ADO=90°，
∵DO=CO，
∴∠C=∠CDO=30°，
∴∠A=30°，∠DBC=60°，
∠ADB=30°，
∴AD=DC，故①正确；
∵∠A=30°，∠DBC=60°，
∴∠ADB=30°，
∴AB=BD，故②正确；
∵∠C=30°，∠BDC=90°，
∴BD=$\frac{1}{2}$BC，
∵AB=BD，
∴AB=$\frac{1}{2}$BC，故③正确；
无法得到BD=CD，故④错误．
故选：B．

点评 此题主要考查了切线的性质以及圆周角定理和等腰三角形的性质等知识，得出∠A的度数是解题关键．