Question

1．如图，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，点E在边CD上（DE＞CE），连结AE并延长交BC的延长线于点F，连结DF，连结BE并延长交DF于点G．若BE：EG=49：15，CF=6，则线段DN的长为$\frac{50}{13}$．

Answer 1

分析 过点G作GH∥CD交BF于H，如图，利用CE∥GH得到BC：CH=BE：EG=49：15，则设BC=49x，CH=15x，则FH=CF-CH=6-15x，再证明△BCE∽△BHG，利用相似比得到GH=$\frac{64}{49}$EC，接着证明△FGH∽△FDC，利用相似比得到GH=49x•$\frac{6-15x}{6}$，则EC=$\frac{4{9}^{2}x（2-5x）}{3×64}$，然后利用AD∥CF，根据平行线分线段成比例定理得到CE=$\frac{6•49x}{49x+6}$，于是可建立方程$\frac{4{9}^{2}x（2-5x）}{3×64}$=$\frac{6•49x}{49x+6}$，整理得5×（49x）²-68×49x+180=0，设t=49x，则5t²-68t+180=0，解得t₁=$\frac{18}{5}$，t₂=10，接着利用DE＞CE得到t=10，最后利用AD∥BF，根据平行线分线段长比例定理可求出DN的长．

解答 解：过点G作GH∥CD交BF于H，如图，
∵在菱形ABCD中，∠ABC=120°，
∴AB=AD=BC=CD=BD，
∵CE∥GH，
∴BC：CH=BE：EG=49：15，
设BC=49x，CH=15x，则FH=CF-CH=6-15x，
∵CE∥GH，
∴△BCE∽△BHG，
∴$\frac{CE}{GH}$=$\frac{BE}{BG}$=$\frac{49}{64}$，即GH=$\frac{64}{49}$EC，
∵GH∥CD，
∴△FGH∽△FDC，
∴$\frac{GH}{CD}$=$\frac{HF}{FC}$，即$\frac{GH}{49x}$=$\frac{6-15x}{6}$，
∴GH=49x•$\frac{6-15x}{6}$，
∴$\frac{64}{49}$x•EC=49x•$\frac{6-15x}{6}$，
∴EC=$\frac{4{9}^{2}x（2-5x）}{3×64}$，
∵AD∥CF，
∴$\frac{DE}{CE}$=$\frac{AD}{CF}$，即$\frac{49x-CE}{CE}$=$\frac{49x}{6}$，解得CE=$\frac{6•49x}{49x+6}$，
∴$\frac{4{9}^{2}x（2-5x）}{3×64}$=$\frac{6•49x}{49x+6}$，
整理得5×（49x）²-68×49x+180=0，
设t=49x，
则5t²-68t+180=0，
解得t₁=$\frac{18}{5}$，t₂=10，
∵DE＞CE，
∴AD＞CF，
∴t=10，
即AD=BD=BC=10，
∵AD∥BF，
∴$\frac{DN}{BN}$=$\frac{AD}{BF}$=$\frac{10}{10+6}$=$\frac{5}{8}$，
∴DN=$\frac{5}{13}$BD=$\frac{50}{13}$．
故答案为$\frac{50}{13}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．也考查了菱形的性质．解决本题的关键是求出菱形的边长．