Question

12．x取什么值时，分式$\frac{{x}^{2}-2x-3}{{x}^{2}+2x}$的值是零？是正数？是负数？

Answer 1

分析 分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零；分子和分母同号时值为正数；分子和分母异号时值为负数．

解答 解：∵分式$\frac{{x}^{2}-2x-3}{{x}^{2}+2x}$的值为零，
∴x²-2x-3=0，且x²+2x≠0．
解得：x=3或x=-1．
$\frac{{x}^{2}-2x-3}{{x}^{2}+2x}$=$\frac{（x-3）（x+1）}{x（x+2）}$．
①当x＜-2时，x（x+1）（x+2）（x-3）＞0，分式的值为正数；
②当-2＜x＜-1时，x（x+1）（x+2）（x-3）＜0，分式的值为负数；
③当-1＜x＜0时，x（x+1）（x+2）（x-3）＞0，分式的值为正数；
④当0＜x＜3时，x（x+1）（x+2）（x-3）＜0，分式的值为负数；
⑤当x＞3时，x（x+1）（x+2）（x-3）＞0，分式的值为正数；
综上所述当x＜-2或-1＜x＜0，或x＞3时，分式的值为正数；当-2＜x＜-1或0＜x＜3时，分式的值为负数．

点评 本题主要考查的是分式的值，依据分类讨论思想求得分式的值为正数和负数时x的取值范围是解题的关键．