Question

7．如图．四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC，对角线AC的中点为O，过点O的直线分别交AD、BC于点E、F．
（1）求证：△AOE≌△COF；
（2）当EF与AC满足什么条件时，四边形AFCE是菱形？并说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据已知条件判定四边形ABCD是平行四边形，结合平行四边形的性质、平行线的性质和全等三角形 的判定定理ASA证得结论；
（2）由（1）中全等三角形的对应边相等推知：AE=CF，则由“有一组对边相等且平行的四边形为平行四边形”得到四边形AECF为平行四边形，所以根据“对角线互相垂直平分的平行四边形为菱形”得到：EF与AC相互垂直平分时，四边形AFCE是菱形．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，OA=OC．
∴∠EAO=∠FCO，
∴在△AOE与△COF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠EAO=∠FCO}\\{OA=OC}\\{∠AOE=∠COF}\end{array}\right.$，
∴△AOE≌△COF（ASA）；

（2）解：EF与AC相互垂直平分时，四边形AFCE是菱形，理由如下：
∵由（1）知，AD∥BC，△AOE≌△COF，则AE=CF．
∴四边形AECF为平行四边形，
又∵EF与AC相互垂直平分，
∴平行四边形AFCE是菱形．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，菱形的判定．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边、公共角和对顶角相等，必要时添加适当辅助线构造三角形．