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【题目】如图,在中,,点边上一点,且AD=3cm,动点从点出发沿线段向终点运动.作,与边相交于点

找出图中的一对相似三角形,并说明理由;

为等腰三角形时,求的长;

求动点从点出发沿线段向终点运动的过程中点的运动路线长.

【答案】(1);(2)的长为;(3)cm.

【解析】

(1)由等腰直角三角形的性质得出∠A=B=45°由三角形的外角性质和已知条件证出∠ADE=BEF,即可得出结论;

(2)分三种情况:①若EF=BF,由相似三角形的性质和勾股定理求出AE=DE=即可;

②若EF=BE,由相似三角形的性质和勾股定理求出AE即可;

③若BF=BE,则∠FEB=EFB,由ADE∽△BEF得出AE=AD=3即可.

(3)由(1)得出ADE∽△BEF,得到,得出的二次函数,即可得出结果.

解:,理由如下:

∵在中,

分三种情况

①如图,若,则

又∵

②如图,若,则

又∵

③如图,若,则

又∵

综上所述,当为等腰三角形时,的长为

长为

∵在中,

得:

∴当时,有最大值

∵从运动的过程中可以得出点运动的路程正好是

∴点运动路程为

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