【题目】如图,在中,,,点为边上一点,且AD=3cm,动点从点出发沿线段向终点运动.作,与边相交于点.
找出图中的一对相似三角形,并说明理由;
当为等腰三角形时,求的长;
求动点从点出发沿线段向终点运动的过程中点的运动路线长.
【答案】(1);(2)的长为或或;(3)cm.
【解析】
(1)由等腰直角三角形的性质得出∠A=∠B=45°由三角形的外角性质和已知条件证出∠ADE=∠BEF,即可得出结论;
(2)分三种情况:①若EF=BF,由相似三角形的性质和勾股定理求出AE=DE=即可;
②若EF=BE,由相似三角形的性质和勾股定理求出AE即可;
③若BF=BE,则∠FEB=∠EFB,由△ADE∽△BEF得出AE=AD=3即可.
(3)由(1)得出△ADE∽△BEF,得到,得出是的二次函数,即可得出结果.
解:,理由如下:
∵在中,,,
∴,
∵,,
∴,
∴;
分三种情况
①如图,若,则,
又∵,
∴,
∴,
∴;
②如图,若,则
又∵,
∴,
∴,
∴;
③如图,若,则
又∵,
∴,
∴.
综上所述,当为等腰三角形时,的长为或或.
设,长为.
∵在中,,.
∴,,
由得:,
∴,
∴,
∴,
∴,
∴当时,有最大值,
∵从运动的过程中可以得出点运动的路程正好是,
∴点运动路程为.
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【题目】如图,在△ABG中,AB=AC=1,∠A=45°,边长为1的正方形的一个顶点D在边AG上,与△ADC另两边分别交于点E、F,DE∥AB,将正方形平移,使点D保持在AC上(D不与A重含),设AF=x,正方形与△ABC重叠部分的面积为y.
(1)求y与x的函数关系式并写出自变量x的取值范围;
(2)x为何值时y的值最大?
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,△ABC和△A′B′C′是以坐标原点O为位似中心的位似图形,且点B(3,1),B′(6,2).
(1)请你根据位似的特征并结合点B的坐标变化回答下列问题:
①若点A(,3),则A′的坐标为______;
②△ABC与△A′B′C′的相似比为______;
(2)若△ABC的面积为m,求△A′B′C′的面积.(用含m的代数式表示)
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【题目】现有两个圆,的半径等于篮球的半径,的半径等于一个乒乓球的半径,现将两个圆的周长都增加米,则面积增加较多的圆是( )
A. B.
C. 两圆增加的面积是相同的 D. 无法确定
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【题目】已知:如图,在中,度.是上一点,以为圆心、为半径的圆与交于点,与切于点,,.设是线段上的动点(与、不重合),.
求的长;
求为何值时,以、、为顶点的三角形是等腰三角形;
在点的运动过程中,与的外接圆能否相切?若能,请证明;若不能,请说明理由;
请再提出一个与动点有关的数学问题,并直接写出答案.
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【题目】如图,在平面直角坐标系网格中,将△ABC进行位似变换得到△A1B1C1.
(1)△A1B1C1与△ABC的位似比是 ;
(2)画出△A1B1C1关于y轴对称的△A2B2C2;
(3)设点P(a,b)为△ABC内一点,则依上述两次变换后,点P在△A2B2C2内的对应点P2的坐标是 .
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【题目】如图,AB⊥BD,CD⊥BD,AB=6cm,CD=4cm,BD=14cm,点p在BD上移动,当PB= ______ 时,△APB和△CPD相似.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中(如图).已知抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A(﹣1,0)和点B(0,),顶点为C,点D在其对称轴上且位于点C下方,将线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°,点C落在抛物线上的点P处.
(1)求这条抛物线的表达式;
(2)求线段CD的长;
(3)将抛物线平移,使其顶点C移到原点O的位置,这时点P落在点E的位置,如果点M在y轴上,且以O、D、E、M为顶点的四边形面积为8,求点M的坐标.
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