Question

10．如图，等边△ABC中，OB、OC分别平分∠ABC、∠ACB，OE∥AB，OF∥AC，分别交BC于E、F．
（1）求证：△OEF是等边三角形；
（2）若AB=3，求△OEF的周长．

Answer 1

分析 （1）由△ABC是等边三角形，得到∠ABC=∠ACB=60°，由于OB、平分∠ABC，得到∠OBE=∠ABO=$\frac{1}{2}∠$ABC=30°，根据平行线的性质得到∠ABO=∠BOE=30°，根据三角形外角的性质得到∠OEF=∠OBE+∠BOE=60°，同理：∠OFE=60°，即可得到结论；
（2）由（1）知∠ABO=∠BOE=30°，得到OE=BE，同理OF=CF，于是得到结果．

解答 解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
∵OB、平分∠ABC，
∴∠OBE=∠ABO=$\frac{1}{2}∠$ABC=30°，
∵OE∥AB，
∴∠ABO=∠BOE=30°，
∴∠OEF=∠OBE+∠BOE=60°，
同理：∠OFE=60°，
∴△OEF是等边三角形；

（2）由（1）知∠ABO=∠BOE=30°，
∴OE=BE，
同理OF=CF，
∵BC=AB=BE+EF+CF=OE+EF+OF=3，
∴△OEF的周长=3．

点评 本题考查了等边三角形的判定和性质，三角形的周长，熟练掌握等边三角形的判定和性质是解题的关键．