Question

2．如图，在等边三角形ABC中，AD为BC边上的中线，以AD为一边作等边三角形ADE，DE与AC交于点F
（1）试探究线段AC与线段DE的位置关系，并说明理由；
（2）连线CE，试探究线段CE与BC的数量关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）由等边三角形的性质得出∠BAC=∠DAE=60°，由等边三角形的性质得出BD=CD，∠BAD=∠DAC=$\frac{1}{2}$∠BAC=30°，得出∠CAE=30°，得出∠DAC=∠CAE，由等边三角形的性质得出AC垂直平分DE即可；
（2）由线段垂直平分线的性质得出CD=CE，由BD=CD，即可得出BC=2CE．

解答 （1）解：AC⊥DE；理由如下：
∵△ABC和△ADE是等边三角形，
∴∠BAC=∠DAE=60°，
∵AD为BC边上的中线，
∴BD=CD，∠BAD=∠DAC=$\frac{1}{2}$∠BAC=30°，
∴∠CAE=60°-30°=30°，
∴∠DAC=∠CAE，
∴AC垂直平分DE，
即AC⊥DE；
（2）解：BC=2CE；理由如下：
∵AC垂直平分DE，
∴CD=CE，
∵BD=CD，
∴BC=2CE．

点评 本题考查了等边三角形的性质、线段垂直平分线的性质；熟练掌握等边三角形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．