Question

12．如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC，BC=5，BD=4，则S_△BCD：S_△ABD=9：16，cos∠ABD=$\frac{3}{5}$，AB=$\frac{20}{3}$．

Answer 1

分析 先由勾股定理求得DC=3，然后证明△BCD∽△ABD，然后利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可，cos∠ABD=cos∠C=$\frac{DC}{BC}$，依据相似三角形的性质可求得AB的长．

解答 解：在Rt△DCB中，DC=$\sqrt{B{C}^{2}-B{D}^{2}}$=3．
∵∠ABC=90°，
∴∠CBD+∠ABD=90°．
∵∠A+∠ABD=90°，
∴∠A=∠DBC．
又∵BD⊥AC，
∴∠BDA=∠BDC．
∴△BCD∽△ABD．
∴$\frac{{S}_{△BCD}}{{S}_{△ABD}}=（\frac{DC}{BD}）^{2}$=9：16．
∵∠ABD=∠C，
∴cos∠ABD=cos∠C=$\frac{DC}{BC}$=$\frac{3}{5}$．
∵△BCD∽△ABD，
∴$\frac{AB}{BD}=\frac{BC}{DC}$，即$\frac{AB}{4}=\frac{5}{3}$．
∴AB=$\frac{20}{3}$．
故答案为：9：16；3：5；$\frac{20}{3}$

点评 本题主要考查的是相似三角形的性质和判定、锐角三角函数的定义，掌握相似三角形的性质是解题的关键．