【题目】如图,已知是等边三角形
的外接圆,点
在圆上,在
的延长线上有一点
,使
,
交
于
.
(1)求证:是
的切线;
(2)求证:.
【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析.
【解析】(1)根据等边三角形的性质可得:∠OAC=30°,∠BCA=60°,证明∠OAE=90°,可得AE是⊙O的切线;
(2)先根据等边三角形性质得:AB=AC,∠BAC=∠ABC=60°,由四点共圆的性质得:∠ADF=∠ABC=60°,得△ADF是等边三角形,证明△BAD≌△CAF,可得结论.
(1)连接OD,
∵⊙O是等边三角形ABC的外接圆,
∴∠OAC=30°,∠BCA=60°,
∵AE∥BC,
∴∠EAC=∠BCA=60°,
∴∠OAE=∠OAC+∠EAC=30°+60°=90°,
∴AE是⊙O的切线;
(2)∵△ABC是等边三角形,
∴AB=AC,∠BAC=∠ABC=60°,
∵A、B、C、D四点共圆,
∴∠ADF=∠ABC=60°,
∵AD=DF,
∴△ADF是等边三角形,
∴AD=AF,∠DAF=60°,
∴∠BAC+∠CAD=∠DAF+∠CAD,
即∠BAF=∠CAF,
在△BAD和△CAF中,
,
∴△BAD≌△CAF,
∴BD=CF.
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【题目】一儿童服装商店在销售中发现:某品牌童装平均每天可售出20件,每件盈利40元.为了迎接“六·一”儿童节,商店决定采取适当的降价措施,扩大销售量,增加盈利,尽快减少库存.经市场调查发现:如果每件童装降价1元,那么平均每天就可多售出2件.要想平均每天销售这种童装上盈利1200元,那么每件童装应降价多少元?
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【题目】计算:
①8+(﹣10)+(﹣2)﹣(﹣5)
②2﹣3
﹣5
﹣|﹣3
|
③(﹣1)+1.25+(﹣8.5)+10
④()×(﹣12)
⑤(﹣199)×5(用简便方法计算)
⑥10×(﹣)﹣2×
+(﹣3)×(﹣
)
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【题目】如图,点P为抛物线y=x2上一动点.
(1)若抛物线y=x2是由抛物线y=
(x+2)2﹣1通过图象平移得到的,请写出平移的过程;
(2)若直线l经过y轴上一点N,且平行于x轴,点N的坐标为(0,﹣1),过点P作PM⊥l于M.
①问题探究:如图一,在对称轴上是否存在一定点F,使得PM=PF恒成立?若存在,求出点F的坐标:若不存在,请说明理由.
②问题解决:如图二,若点Q的坐标为(1.5),求QP+PF的最小值.
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【题目】如下图,先填空后证明.
已知: ∠1+∠2=180° 求证:a∥b.
证明:∵ ∠1=∠3(_____),∠1+∠2=180°(_____),
∴ ∠3+∠2=180°(______).
∴ a∥b(_____).
请你再写出一种证明方法.
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【题目】在图1、图2的网格中,每个小四边形均为正方形,且边长是1.如果三角形的顶点均在网格交点处,我们称这样的三角形为格点三角形.下面的三角形均为格点三角形.
(1)如图1,试判断△ABC的形状,并说明理由;
(2)在图2的网格中,请你以DE为底边,画一个面积为7.5的等腰三角形.
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【题目】如图,等边△ABC的边长为4,D是线段BA延长线上的一点,以线段CD为边向CD的左侧作等边△CDE,连接AE.
(1)△ABC的面积S△ABC= ;
(2)求证:△ACE≌△BCD;
(3)若四边形ABCE的面积为10,求AD的长.
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【题目】“珍重生命,注意安全!”同学们在上下学途中一定要注意骑车安全.小明骑单车上学,当他骑了一段时间,想起要买某本书,于是又折回到刚经过的新华书店,买到书后继续去学校,以下是他本次所用的时间与路程的关系示意图.根据图中提供的信息回答下列问题:
(1)小明家到学校的路程是 米,小明在书店停留了 分钟
(2)本次上学途中,小明一共行驶了 米,一共用了 分钟.
(3)我们认为骑单车的速度超过300米分钟就超越了安全限度.问:在整个上学的途中哪个时间段小明骑车速度最快,速度在安全限度内吗?
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【题目】如图所示,正六边形的边长为
,点
从
点出发沿
运动至点
,点
是点
关于直线
对称的点.
()点
从点
运动至
过程中,下列说法正确的有__________.(填序号)
①当点运动到
时,线段
长为
.
②点沿直线从
运动到
.
③点沿圆弧从
运动到
.
()点
从点
运动至
的过程中,点
到
的距离的最小值是__________.
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