Question

【题目】如图，点P为抛物线y=x2上一动点．

（1）若抛物线y=x2是由抛物线y=（x+2）2﹣1通过图象平移得到的，请写出平移的过程；

（2）若直线l经过y轴上一点N，且平行于x轴，点N的坐标为（0，﹣1），过点P作PM⊥l于M．

①问题探究：如图一，在对称轴上是否存在一定点F，使得PM=PF恒成立？若存在，求出点F的坐标：若不存在，请说明理由．

②问题解决：如图二，若点Q的坐标为（1.5），求QP+PF的最小值．

Answer 1

【答案】（1）向上平移1个单位，再向右2个单位；（2）①（0，1），②5

【解析】（1）找到抛物线顶点坐标即可找到平移方式．

（2）①设出点P坐标，利用PM=PF计算BF，求得F坐标；

②利用PM=PF，将QP+PF转化为QP+QM，利用垂线段最短解决问题．

（1）∵抛物线的顶点为（﹣2，﹣1）

∴抛物线的图象向上平移1个单位，再向右2个单位得到抛物线 的图象．

（2）①存在一定点F，使得PM=PF恒成立．

如图一，过点P作PB⊥y轴于点B

设点P坐标为,

∴,

∵

∴ 中

∴OF=1

∴点F坐标为（0，1）

②由①，PM=PF，

的最小值为 的最小值

当Q、P、M三点共线时，QP+QM有最小值为点Q纵坐标5．

∴QP+PF的最小值为5．