Question

12．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC＞BC，M是AB的中点，以CM为直径的⊙O与△ABC的三边分别交于点D、E、F，连接DE、DF，DE与CM交于点P．
（1）求证：DF∥AB；
（2）若$\frac{MP}{CP}$=$\frac{1}{4}$，DP=6$\sqrt{2}$，求⊙O的直径CM的长；
（3）设tan∠A=x（0＜x＜1），$\frac{MP}{CP}$=y，求y与x之间的函数关系式．

Answer 1

分析 （1）利用圆的性质即可直接得出结论；
（2）先设出MP，CP，再用△DOP∽△EMP表示出EP=4$\sqrt{2}$，DE=10$\sqrt{2}$，EM=$\frac{5}{3}$a，再用勾股定理即可建立方程求出a，即可得出结论；
（3）设出AE=m，CM=2r，得出CE=xm，进而得到m=$\frac{4r}{{x}^{2}+1}$，再用△DOP∽△EMP，得出$\frac{OP}{MP}=\frac{DO}{EM}$，从而得出MP=$\frac{m（m-2r）}{m-r}$，CP=2r-MP=$\frac{rm}{m-r}$，即可得出函数关系式．

解答 解：（1）∵∠ACB=90°，
∴DF为⊙O的直径，
∴∠OCF=∠OFC，
∵CM为Rt△ABC斜边上的中线，
∴CM=MB，
∴∠MCB=∠B，
∴∠B=∠OFC，
∴DF∥AB
（2）如图，连接CE，

∵$\frac{MP}{CP}$=$\frac{1}{4}$，
∴设MP=a，CP=4a，
∴OP=$\frac{3}{2}$a，OD=$\frac{5}{2}$a，
∵DF∥AB，
∴△DOP∽△EMP，
∴$\frac{OP}{MP}=\frac{DP}{EP}=\frac{DO}{EM}$，
∵DP=6$\sqrt{2}$，
∴EP=4$\sqrt{2}$，
∴DE=10$\sqrt{2}$，EM=$\frac{5}{3}$a，
∵CM为Rt△ABC斜边上的中线，
∴CM=MA，
∴∠A=∠ACM，
∵∠AED=∠ACM，
∴∠A=∠AED，
∴DE=DA，
∵CM为⊙O的直径，
∴CE⊥AB，
∴∠ACE=∠DEC，
∴DE=DC，
∴AC=2DE=20$\sqrt{2}$，
在Rt△ACE和Rt△MCE中，CE²=AC²-AE²，CE²=CM²-ME²，
∴AC²-AE²=CM²-ME²，
∴（20$\sqrt{2}$）²-（5a+$\frac{5}{3}$a）²=（5a）²-（$\frac{5}{3}$a）²
∴a=2$\sqrt{3}$，
∴CM=5a=10$\sqrt{3}$；
（3）在Rt△ACE中，tanA=$\frac{CE}{AE}$=x，
设AE=m，CM=2r，
∴CE=xm，
由（2）知，AM=CM=2r，
∴ME=m-2r，
在Rt△MCE中，CE²=CM²-ME²，
∴（xm）²=（2r）²-（m-2r）²，
∴m=$\frac{4r}{{x}^{2}+1}$，
∵△DOP∽△EMP，
∴$\frac{OP}{MP}=\frac{DO}{EM}$，
∴$\frac{r-MP}{MP}=\frac{r}{m-2r}$，
∴MP=$\frac{m（m-2r）}{m-r}$，
∴CP=2r-MP=$\frac{rm}{m-r}$，
∴y=$\frac{MP}{CP}$=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$．

点评 此题是圆的综合题，主要考查了圆中的有关计算，90°的圆周角所对的弦是直径，直角三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数，相似三角形的性质和判定，条件较多，难点较大，认真分析条件，准确构造相似三角形是解本题的关键．