Question

【题目】如图，已知∠AOB=90°，OM是∠AOB的平分线，将三角尺的直角顶点P放在射线OM上，两直角边分别与OA，OB交于点C，D．

（1）证明：PC=PD．

（2）若OP=4，求OC+OD的长度．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）过点P点作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，根据垂直的定义得到∠PEC=∠PFD=90°，由OM是∠AOB的平分线，根据角平分线的性质得到PE=PF，利用四边形内角和定理可得到∠PCE+∠PDO=360°﹣90°﹣90°=180°，而∠PDO+∠PDF=180°，则∠PCE=∠PDF，然后根据“AAS”可判断△PCE≌△PDF，根据全等的性质即可得到PC=PD．

（2）由∠AOB=90°，OM平分∠AOB，得到△POE与△POF为等腰直角三角形，根据等腰三角形的性质有OE=PE=PF=OF，即可得到OE的长．由（1）知△PCE≌△PDF，由全等三角形对应边相等得到CE=DF，进而得到OC+OD=OE+OF=2OE，即可得出结论．

（1）如图，过点P作PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，∴∠PEC=∠PFD=90°．

∵OM是∠AOB的平分线，∴PE=PF．

∵∠AOB=90°，∠CPD=90°，

∴∠PCE＋∠PDO=360°－90°－90°=180°．

而∠PDO＋∠PDF=180°，

∴∠PCE=∠PDF．

在△PCE和△PDF中，∵∠PCE=∠PDF，∠PEC=∠PFD，PE=PF，

∴△PCE≌△PDF（AAS）

∴PC=PD．

（2）∵∠AOB=90°，OM平分∠AOB，

∴△POE与△POF为等腰直角三角形，

∴OE=PE=PF=OF．

∵OP=4，

∴OE=．

由（1）知△PCE≌△PDF，∴CE=DF，

∴OC+OD=OE+OF=2OE=．