Question

10．如图，已知抛物线y=-x²+9的顶点为A，曲线DE是双曲线y=$\frac{k}{x}$（3≤x≤12）的一部分，记作G₁，且D（3，m），E（12，m-3），将抛物线y=-x²+9水平向右移动a个单位，得到抛物线G₂．
（1）求双曲线的解析式；
（2）设抛物线y=-x²+9与x轴的交点为B、C，且B在C的左侧，求线段BD的长；
（3）点（4，n）为G₁与G₂的交点坐标，求a的值；
（4）在移动过程中，若G₁与G₂有两个交点，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）把D（3，m），E（12，m-3）代入双曲线y=$\frac{k}{x}$（3≤x≤12），得到3×m=12（m-3），于是得到结论；
（2）在y=-x²+9中，令y=0，则-x²+9=0，得到B（-3，0），C（3，0），得到BC=6，根据勾股定理即可得到结论；
（3）把（4，n）代入y=$\frac{12}{x}$中得n=3，根据题意列方程即可得到结论；
（4）把D（3，4）代入y=-（x-a）²+9得4=-（3-a）²+9，得到a=3±$\sqrt{5}$，把E（12，1）代入y=-（x-a）²+9得1=-（12-a）²+9，得到a=12±2$\sqrt{2}$，于是得到结论

解答 解：（1）∵D（3，m），E（12，m-3）在双曲线y=$\frac{k}{x}$（3≤x≤12）上，
∴3×m=12（m-3），
∴m=4，
∴D（3，4），E（12，1），
∴k=3×4=12，
∴双曲线的解析式为y=$\frac{12}{x}$；

（2）在y=-x²+9中，令y=0，则-x²+9=0，
∴x=±3，
∴B（-3，0），C（3，0），
∴BC=6，
∵D（3，4），
∴DC⊥BC，
∴BD=$\sqrt{C{D}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{6}^{2}}$=2$\sqrt{13}$；

（3）∵点（4，n）为G₁与G₂的交点坐标，
把（4，n）代入y=$\frac{12}{x}$中得n=3，
∵抛物线y=-x²+9水平向右移动a个单位，得到抛物线G₂，
∴抛物线G₂的解析式为y=-（x-a）²+9，
把（4，3）代入y=-（x-a）²+9得3=-（4-a）²+9，
∴a=4-$\sqrt{6}$或a=4+$\sqrt{6}$；

（4）把D（3，4）代入y=-（x-a）²+9得4=-（3-a）²+9，
解得a=3±$\sqrt{5}$，
∵在移动过程中，抛物线的AB部分过D点时，G₁与G₂有两个交点，
∴a=3+$\sqrt{5}$；
把E（12，1）代入y=-（x-a）²+9得1=-（12-a）²+9，
解得a=12±2$\sqrt{2}$，
∵在移动过程中，抛物线的AC部分过E点时，G₁与G₂有两个交点，
∴a=12-2$\sqrt{2}$，
∴在移动过程中，若G₁与G₂有两个交点，a的取值范围是3$+\sqrt{5}$≤a≤12-2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了待定系数法求函数的解析式，勾股定理，根据函数的解析式求点的坐标，正确的理解题意是解题的关键．