Question

【题目】如图，在△ABC中，D为AC上一点，且CD=CB,以BC为直径作☉O,交BD于点E，连接CE,过D作DFAB于点F,∠BCD=2∠ABD.

（1）求证：AB是☉O的切线；

（2）若∠A=60°，DF=,求☉O的直径BC的长。

Answer 1

【答案】（1）证明过程见解析；（2）4

【解析】

试题分析：（1）根据CB=CD得出∠CBD=∠CDB，然后结合∠BCD=2∠ABD得出∠ABD=∠BCE，从而得出∠CBD+∠ABD=∠CBD+∠BCE=90°，然后得出切线；（2）根据Rt△AFD和Rt△BFD的性质得出AF和DF的长度，然后根据△ADF和△ACB相似得出相似比，从而得出BC的长度.

试题解析：（1）∵CB=CD ∴∠CBD=∠CDB 又∵∠CEB=90° ∴∠CBD+∠BCE=∠CDE+∠DCE

∴∠BCE=∠DCE且∠BCD=2∠ABD ∴∠ABD=∠BCE ∴∠CBD+∠ABD=∠CBD+∠BCE=90°

∴CB⊥AB垂足为B 又∵CB为直径 ∴AB是⊙O的切线.

（2）∵∠A=60°，DF= ∴在Rt△AFD中得出AF=1 在Rt△BFD中得出DF=3

∵∠ADF=∠ACB ∠A=∠A ∴△ADF∽△ACB ∴ 即 解得：CB=4