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【题目】如图,在△ABC 中,点OAC边上的一个动点,过点O作直线MNBC,设MN交∠BCA的角平分线于点E,交∠BCA的外角平分线于点F

1)求证:EO=FO

2)当点O运动到何处时,四边形AECF是矩形?并证明你的结论.

【答案】(1)见解析;(2) O运动到OA=OC处,四边形AECF是矩形.理由见解析.

【解析】

1)由于CE平分∠BCA,那么有∠1=2,而MNBC,利用平行线的性质有∠1=3,等量代换有∠2=3,于OE=OC,同理OC=OF,于是OE=OF
2OA=OC,那么可证四边形AECF是平行四边形,又CECF分别是∠BCA及其外角的角平分线,易证∠ECF90°,从而可证四边形AECF是矩形.

(1)当点O运动到AC中点时,四边形AECF是矩形;理由如下:

如图所示:


CE平分∠BCA
∴∠1=2
又∵MNBC
∴∠1=3
∴∠3=2
EO=CO
同理,FO=CO
EO=FO
(2)O运动到OA=OC处,四边形AECF是矩形.理由如下:

OA=OC
∴四边形AECF是平行四边形,
CF是∠BCA的外角平分线,
∴∠4=5
又∵∠1=2
∴∠1+5=2+4
又∵∠1+5+2+4=180°
∴∠2+4=90°
∴平行四边形AECF是矩形.

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成绩分组

频数

频率

50x60

8

0.16

60x70

12

a

70x80

0.5

80x90

3

0.06

90x90

b

c

合计

1

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