Question

2．如图，在平面直角坐标系中，已知△AOB是等边三角形，点A的坐标是（0，3），点B在第一象限，∠OAB的平分线交x轴于点P，把△AOP绕着点A按逆时针方向旋转，使边AO与AB重合，得到△ABD，连接DP．
求：DP的长及点D的坐标．

Answer 1

分析 根据等边三角形的每一个角都是60°可得∠OAB=60°，然后根据对应边的夹角∠OAB为旋转角求出∠PAD=60°，再判断出△APD是等边三角形，根据等边三角形的三条边都相等可得DP=AP，根据，∠OAB的平分线交x轴于点P，∠OAP=30°，利用三角函数求出AP，从而得到DP，再求出∠OAD=90°，然后写出点D的坐标即可．

解答 解：∵△AOB是等边三角形，
∴∠OAB=60°，
∵△AOP绕着点A按逆时针方向旋转边AO与AB重合，
∴旋转角=∠OAB=∠PAD=60°，AD=AP，
∴△APD是等边三角形，
∴DP=AP，∠PAD=60°，
∵A的坐标是（0，3），∠OAB的平分线交x轴于点P，
∴∠OAP=30°，AP=$\sqrt{{（\sqrt{3}）}^{2}+{3}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∴DP=AP=2$\sqrt{3}$，
∵∠OAP=30°，∠PAD=60°，
∴∠OAD=30°+60°=90°，
∴点D的坐标为（2$\sqrt{3}$，3）．

点评 本题考查了旋转的性质，坐标与图形性质，等边三角形的判定与性质，解直角三角形，熟记各性质并判断出△APD是等边三角形是解题的关键．