Question

如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，E、F分别是对角线AC和BD上的点，且AE=DF．求证：四边形BCFE是等腰梯形．

Answer 1

证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，OA=OC，OB=OD，AC=BD，
∴OA=OD=OB=OC，
∵AE=DF，
∴OE=OF，
∴=，
∵∠AOD=∠AOD，
∴△OEF∽△OAD（有两边对应长比例，且夹角相等的两三角形相似），
∴∠OEF=∠OAD，
∴EF∥AD，
∵AD∥BC，
∴EF∥BC，
∵EF＜AD，
∴EF≠BC，
∴四边形BEFC是梯形，
∵OB=OC，OE=OF，∠EOB=∠FOC，
∴△EOB≌△FOC，
∴BE=CF，
∴梯形BEFC是等腰梯形．
分析：根据矩形的性质推出OA=OB=OC=OD，得出OE=OF，得出比例式，求出△OAD∽△OEF，推出∠OEF=∠OAD，得出EF∥AD∥BC，得出梯形，求出BE=CF，根据等腰梯形的判定推出即可．
点评：本题考查了等腰梯形的判定和相似三角形的性质和判定，平行线的判定等知识点的应用，关键是求出四边形BEFC是梯形（即求出EF∥BC），题目比较好，难度适中．