Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，C是圆上一点，弦CD⊥AB于点E，且DC=AD．过点A作⊙O的切线，过点C作DA的平行线，两直线交于点F，FC的延长线交AB的延长线于点G.

（1）求证：FG与⊙O相切；

（2）连接EF，求的值.

Answer 1

【答案】(1)见解析；（2）

【解析】(1)连接OC、AC,先证DC=AD= AC,得出△ACD为等边三角形,所以∠D =∠DCA=∠DAC =60°，从而FG∥DA,易知, 得出FG⊥OC ，则FG与⊙O相切;(2)作EH⊥FG于点H．设CE= a，则DE= a，AD=2a，易证四边形AFCD为平行四边形，因为DC =AD，AD=2a，所以 四边形AFCD为菱形，由（1）得∠DCG=60°,从而可求出EH、CH的值，然后可知FH的长度，利用锐角三角函数的定义即可求出tan∠EFC的值.

（1）证明：如图，连接OC，AC.

∵ AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，

∴ CE=DE，AD=AC.

∵ DC=AD，

∴ DC=AD= AC.

∴ △ACD为等边三角形．

∴ ∠D =∠DCA=∠DAC =60°．

∴ ．

∵ FG∥DA，

∴ ．

∴ ．

∴ ．

∴ FG⊥OC．

∴ FG与⊙O相切．

（2）解：如图，作EH⊥FG于点H．

设CE= a，则DE= a，AD=2a．

∵ AF与⊙O相切，

∴ AF⊥AG．

又∵ DC⊥AG，

可得AF∥DC．

又∵ FG∥DA，

∴ 四边形AFCD为平行四边形．

∵ DC =AD，AD=2a，

∴ 四边形AFCD为菱形．

∴ AF=FC=AD=2 a，∠AFC=∠D = 60°．

由（1）得∠DCG= 60°，，．

∴ ．

∵ 在Rt△EFH中，∠EHF= 90°，

∴ .