Question

在平面直角坐标系中，直线AC交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点C，过点C作直线CB垂直AC交x轴于点B，且AB=25，OC=12，P在线段OC上，且PO、PC的长是关于x的方程x²-12x+32=0两根（PO＜PC）
（1）求直线BC的解析式；
（2）点M（0，a）是y轴正半轴上一点，令S_△BMC=S，写出S关于a的函数关系式；
（3）E在直线BC上，是否在平面上有一点F，使以点E、F、B、P为顶点的四边形是菱形？若有直接写出点E的坐标；若无，说明理由．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）由OC⊥AB，CB⊥CA，结合射影定理可得AO•OB=OC²，且AB=25，可求得OB的长，则B点的坐标可得，进一步可求得BC的解析式；
（2）分M在C点上方和在C点下方，则可以表示出MC的长度，把MC当底则OB为高，可表示出S和a的关系；
（3）根据菱形的性质，可得菱形的四边相等，根据菱形的四边相等，可得方程，根据解方程，可得答案．

解答：解：（1）设B点坐标是（x，0），A点坐标是（25-x，0），由勾股定理，得
OA²+OC²=AC²，OB²+OC²=OB²，OA²+OB²=AB²，
即OA²+OC²+OB²+OC²=AB²，
（25-x）²+12²+x²+12²=25²，
化简，得
x²-25x+144=0，
解得x=16或x=9，
B（16，0），或（9，0）．
当B（16，0）时，直线BC的解析式为y=-

3

4

x+12，
当B（9，0）时，直线BC的解析式为y=-

4

3

x+12；
（2）当B（16，0）时，M在C点上方，S_△BMC=

1

2

MC•OB=

1

2

（a-12）×16=8a-96；
当B（16，0）时，M在C点下方时，S_△BMC=

1

2

MC•OB=

1

2

（-a+12）×16=-8a+96；
当B（9，0）时，M在C点上方，S_△BMC=

1

2

MC•OB=

1

2

（a-12）×9=

9

2

a-54；
当B（9，0）时，M在C点下方时，S_△BMC=

1

2

MC•OB=

1

2

（-a+12）×9=-

9

2

a+54；
（3）解x²-12x+32=0，得
x=4或x=8（不符合题意的要舍去），
P（0，4）．
①当B（16，0）时，直线BC的解析式为y=-

3

4

x+12，时，设E（x，-

3

4

x+12），
EP=PF=FB=BE，得x²+（-

3

4

x+12-4）²=（x-16）²+（-

3

4

x+12）²，
解得x=

168

19

，-

3

4

x+12=

172

19

，E（

168

19

，

172

19

）；
EF=FP=PB=BE，得（x-16）²+（-

3

4

x+12）²=4²+16²，
解得x=

80+16 17

5

（不符合题意的要舍去）x=

80-16 17

5

，y=-

3

4

x+12=

12 17

5

，E（

80-16 17

5

，

12 17

5

）；
EP=PB=BF=FE，得x²+（-

3

4

x+12-4）²=4²+16²，
解得x=

96-4 5751

25

，y=-

3

4

x+12=

300+3 5751

25

，E（

96-4 5751

25

，

300+3 5751

25

）；
综上所述：E（

168

19

，

172

19

），

80-16 17

5

，

12 17

5

），（

96-4 5751

25

，

300+3 5751

25

）；
②当B（9，0）时，直线BC的解析式为y=-

4

3

x+12，时，设E（x，-

4

3

x+12），
EP=PF=FB=BE，得x²+（-

4

3

x+12-4）²=（x-9）²+（-

4

3

x+12）²，
解得x=

483

248

，-

4

3

x+12=

683

62

，E（

483

248

，

683

62

）；
EF=FP=PB=BE，得（x-9）²+（-

4

3

x+12）²=4²+9²，
解得x=

96- 6641

18

，-

4

3

x+12=

132+2 6641

27

，E（

96- 6641

18

，

132+2 6641

27

）；
EP=PB=BF=FE，得x²+（-

4

3

x+12-4）²=4²+9²，
解得x=

96- 16391

25

，-

4

3

x+12=

516+4 16391

75

，E（

96- 16391

25

，

516+4 16391

75

），
综上所述：E（

483

248

，

683

62

），（

96- 6641

18

，

132+2 6641

27

），（

96- 16391

25

，

516+4 16391

75

）．

点评：本题考查了一次函数综合题，利用了待定系数法求解析式，三角形的面积公式，菱形的性质，分类讨论是解题关键，计算量大，题目难度较大．