Question

如图，AB是半圆O的直径，以OA为直径的半圆O′与弦AC交于点D，O′E∥AC，并交OC于点E，则下列四个结论：①点D为AC的中点；②S_△O′OE=

1

2

S_△AOC；③2AD=AC；④四边形O′DEO是菱形，其中正确的结论有

 

（填序号）．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：

分析：连接OD，可知OD⊥AC，且OA=OC，所以有D为AC中点，可判断①③；
利用中位线定理可知O′E=

1

2

AC，由相似三角形的面积比等于相似比的平方可判断②；
利用反证法来判断④，即如果四边形O′DEO是菱形，则有AC=AO，但由题目条件并不一定满足该条件，可判断④的正确性．

解答：解：连接OD，
∵AO为⊙O′的直径，
∴∠ADO=90°，
∴OD⊥AC，
∵OA=OC，
∴D为AC的中点，即AC=2AD，
∴①③正确；
∵O′E∥AC，O′为AO中点，
∴△OO′E∽△OAC，且

O′E

AC

=

1

2

，
∴

S△O′OE

S△AOC

=(

1

2

)2=

1

4

，即S_△O′OE=

1

4

S_△AOC，
∴②不正确；
当四边形O′DEO是菱形时，则O′E=AO′=

1

2

AC=

1

2

AO，
则有AC=AO，
由题可知该条件不一定成立，
∴④不正确；
综上可知正确的为①③，
故答案为：①③．

点评：本题主要考查圆周角定理及等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质、菱形的性质的综合应用，在解决有关圆的问题时注意利用半径相等这一隐含条件，有关不成立的结论可以采用逆推法，即从结论入手看是否能找到所需要的条件．