Question

如图，⊙O是△ABC的外接圆，FH是⊙O的切线，切点为F，FH∥BC，连结AF交BC于E，∠ABC的平分线BD交AF于D，连结BF。

（1）证明：AF平分∠BAC；
（2）证明：BF=FD；
（3）若EF=4，DE=3，求AD的长。

Answer 1

解：（1）证明：连结OF， ∵FH是⊙O的切线， ∴OF⊥FH， ∵FH∥BC， ∴OF垂直平分BC， ∴， ∴AF平分∠BAC； （2）证明：由（1）及题设条件可知 ∠1=∠2，∠4=∠3，∠5=∠2， ∴∠1+∠4=∠2+∠3， ∴∠1+∠4=∠5+∠3，∠FDB=∠FBD， ∴BF=FD； （3）在△BFE和△AFB中， ∵∠5=∠2=∠1，∠F=∠F， ∴△BFE∽△AFB， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴AD==。