精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
如图,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C.大圆的圆心是该抛物线的顶点D,小圆的圆心是该抛物线与x轴正半轴的交点B,大圆与x轴相切于点E,小圆与y轴相切于点O,两圆外切于点F,大圆半径R是小圆半径r的4倍.
(1)求ac+b的值;
(2)在抛物线上找点P,使△PAO能与△EBF相似(用含r的代数式表示点P的坐标,并证明△PAO与△EBF相似).
分析:(1)连接DE.设⊙B、⊙D的半径分别为r、R,根据切线的性质得出DE⊥x轴于E,先用含r的代数式分别表示点A,B,D的坐标,再运用待定系数法求出经过A,B,D的解析式,得出a、b、c的值,代入即可求出ac+b的值;
(2)先在抛物线上找出点P,再证明△PAO与△EBF相似.为此,过点A作AP∥BD,交抛物线于点P,先运用待定系数法求出直线AP的解析式,再与(1)中求出的抛物线的解析式联立,得到方程组,解方程组求出交点P的坐标,然后通过计算得出AO:BF=AP:EB=5,又∠PAO=∠EBF,根据两组对应边的比相等且夹角相等的两三角形相似得出△PAO∽△EBF.
解答:解:(1)连接DE.设⊙B、⊙D的半径分别为r、R(r>0,R>0),则有DE⊥x轴于E,且R=4r.
∴ED=4r,DB=5r,∴EB=AE=3r,
∴OE=2r,AO=5r,
∴A(-5r,0),B(r,0),D(-2r,-4r).
设y=a(x+2r)2-4r,将B(r,0)代入,
得0=a(r+2r)2-4r,
解得a=
4
9r

∴y=
4
9r
(x+2r)2-4r,即y=
4
9r
x2+
16
9
x-
20
9
r,
∴ac+b=
4
9r
×(-
20
9
r)+
16
9
=
64
81


(2)过点A作AP∥BD,交抛物线于点P,连接PO、EF,则点P即为所求.
由B(r,0),D(-2r,-4r),
运用待定系数法求出直线BD的解析式为y=
4
3
x-
4
3
r,
∵AP∥BD,∴可设直线AP的解析式为y=
4
3
x+n,
将A(-5r,0)代入,得0=
4
3
×(-5r)+n,
解得n=
20
3
r,
∴直线AP的解析式为y=
4
3
x+
20
3
r.
解方程组
y=
4
9r
x
2
+
16
9
x-
20r
9
y=
4
3
x+
20r
3

解得
x=4r
y=12r
x=-5r
y=0
(与A点重合,舍去).
∴P点的坐标为(4r,12r),
∵A(-5r,0),∴AP=
(4r+5r)2+(12r)2
=15r,
∵AO=5r,BF=r,EB=3r,∴AO:BF=AP:EB=5,
∵AP∥BD,∴∠PAO=∠EBF,
∴△PAO∽△EBF.
点评:本题考查了直线与圆、圆与圆的位置关系,运用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式,平面直角坐标系中交点坐标的求法,相似三角形的判定,本题综合性较强,难度较大,需认真观察图形,正确地作出辅助线.
练习册系列答案
相关习题

科目:初中数学 来源: 题型:

8、如图,直线y=ax+b与抛物线y=ax2+bx+c的图象在同一坐标系中可能是(  )

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

如图,抛物线y1=-ax2-ax+1经过点P(-
1
2
9
8
),且与抛物线y2=ax2-ax-1相交于A,B两点.
(1)求a值;
(2)设y1=-ax2-ax+1与x轴分别交于M,N两点(点M在点N的左边),y2=ax2-ax-1与x轴分别交于E,F两点(点E在点F的左边),观察M,N,E,F四点的坐标,写出一条正确的结论,并通过计算说明;
(3)设A,B两点的横坐标分别记为xA,xB,若在x轴上有一动点Q(x,0),且xA≤x≤xB,过Q作一条垂直于x轴的直线,与两条抛物线分别交于C,D精英家教网两点,试问当x为何值时,线段CD有最大值,其最大值为多少?

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

如图,抛物线y=-ax2+ax+6a交x轴负半轴于点A,交x轴正半轴于点B,交y轴正半轴于点D,精英家教网O为坐标原点,抛物线上一点C的横坐标为1.
(1)求A,B两点的坐标;
(2)求证:四边形ABCD的等腰梯形;
(3)如果∠CAB=∠ADO,求α的值.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

已知:如图,抛物线的顶点为点D,与y轴相交于点A,直线y=ax+3与y轴也交于点A,矩形ABCO的顶点B在精英家教网此抛物线上,矩形面积为12,
(1)求该抛物线的对称轴;
(2)⊙P是经过A、B两点的一个动圆,当⊙P与y轴相交,且在y轴上两交点的距离为4时,求圆心P的坐标;
(3)若线段DO与AB交于点E,以点D、A、E为顶点的三角形是否有可能与以点D、O、A为顶点的三角形相似,如果有可能,请求出点D坐标及抛物线解析式;如果不可能,请说明理由.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

已知:如图,抛物线y=ax2+ax+c与y轴交于点C(0,-2),精英家教网与x轴交于点A、B,点A的坐标为(-2,0).
(1)求该抛物线的解析式;
(2)M是线段OB上一动点,N是线段OC上一动点,且ON=2OM,分别连接MC、MN.当△MNC的面积最大时,求点M、N的坐标;
(3)若平行于x轴的动直线与该抛物线交于点P,与线段AC交于点F,点D的坐标为(-1,0).问:是否存在直线l,使得△ODF是等腰三角形?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

查看答案和解析>>

同步练习册答案