Question

16．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过坐标原点O和x轴上另一点E，顶点M的坐标为（2，4），矩形ABCD的顶点A与点O重合，点B、D的坐标分别为（0，3）、（-2，0），将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度沿x轴的正方向平移，同时点P也以每秒a个单位长度从A出发，沿A→B→C→D运动，到点D停止，设矩形移动的时间为t（s）．
（1）求该抛物线所对应的函数关系式；
（2）当a=3时，在0＜t≤$\frac{5}{3}$的范围内，求△APM的面积S（平方单位）与t之间的函数关系式；
（3）当a=2时，直接写出点P在抛物线与x轴围成的区域内时t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据顶点坐标设抛物线关系式为：y=a（x-2）²+4，把（0，0）代入即可；
（2）分两种情况讨论，①当点P在线段OB上时，0≤t≤1，△APM的面积S=-$\frac{3}{2}$t²+3t；
②当点P在线段BC上时，1＜t≤$\frac{5}{3}$，S=S_梯形PGAM-S_△APG-S_△MAH=$\frac{9}{2}$t-2；
（3）分类讨论：点P分别在AB、BC、CD、AD上，因为速度为2个单位长度，利用长度计算出在各条边上的时间，写出此时点P的坐标，与抛物线上与点P横坐标相等的纵坐标对比，确定此时点P是在抛物线内还是外，还是上，最后写出取值范围．

解答 解：（1）顶点M的坐标为（2，4），
故设抛物线的函数关系式为：y=a（x-2）²+4，
∵抛物线过O（0，0），
得0=4a+4，
a=-1，
∴该抛物线所对应的函数关系式：y=-（x-2）²+4=-x²+4x；
（2）当y=0时，-x²+4x=0，
x²-4x=0，
x₁=0，x₂=4，
∴OE=4，
①当点P在线段OB上时，0≤t≤1，如图1，
由题意得：OA=t，OP=3t，
S=$\frac{1}{2}$×3t×（2-t）=-$\frac{3}{2}$t²+3t；
②当点P在线段BC上时，1＜t≤$\frac{5}{3}$，如图2，
过P作PG⊥OD于G，过M作MH⊥OD于H，
则AG=PB=3t-3，OA=t，OG=t-（3t-3）=-2t+3，AH=2-t，MH=4，PG=3，
∴S=S_梯形PGHM-S_△APG-S_△MAH，
=$\frac{1}{2}$（3+4）（2+2t-3）-$\frac{1}{2}$×3×（3t-3）-$\frac{1}{2}$×4×（2-t），
=$\frac{9}{2}$t-2；
综上所述：S与t之间的函数关系式为：$\left\{\begin{array}{l}{S=-\frac{3}{2}{t}^{2}+3t（0≤t≤1）}\\{S=\frac{9}{2}t-2（1＜t≤\frac{5}{3}）}\end{array}\right.$；

（3）a=2时，点P以每秒2个单位长度从A出发，到点D停止，0≤t≤5，
i）AB=3，t=$\frac{3}{2}$=1.5，
当0≤t≤1.5时，点P在AB上，如图1，则P（t，2t），
当x=t时，y=-t²+4t，
-t²+4t-2t=-t²+2t=-t（t-2）＞0，
这时，点P在抛物线内；
ii）当1.5＜t≤2.5时，P在BC上，如图2，P[t-（2t-3），3]，即P（-t+3，3），
当x=-t+3时，y=-（t-1）²+4，
-（t-1）²+4-3=-t²+2t=-t（t-2），
当1.5＜t＜2时，点p在抛物线内，
当t=2时，点P在抛物线上，
当2＜t≤2.5时，点P在抛物线外，
iii）当2.5＜t＜3时，点P在CD上，则P（t-2，-2t+8），
当x=t-2时，-（t-2-2）²+4=-2t+8，
解得：t₁=5+$\sqrt{5}$（舍去），t₂=5-$\sqrt{5}$，
当y=3时，-x²+4x=3，
x₁=1，x₂=3，
综上所述：当0＜t＜2或5-$\sqrt{5}$＜t≤5时，点P在抛物线与x轴围成的区域内．

点评 本题是二次函数的综合题，考查了利用顶点式求二次函数的关系式，利用面积建立函数模型，采用分类讨论的思想，解题的关键是观察图形的形状，找出最恰当的求解方式，利用熟知图形面积的和或差来求，同时还解决动点问题中的未知数的取值问题，综合性较强．