Question

20．如图，已知在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B、C在x轴上，S_△ABO=8，OA=OB，BC=10，点P的坐标是（-6，a），
（1）求△ABC三个顶点A、B、C的坐标；
（2）连接PA、PB，并用含字母a的式子表示△PAB的面积（a≠2）；
（3）在（2）问的条件下，是否存在点P，使△PAB的面积等于△ABC的面积？如果存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据三角形面积公式得到$\frac{1}{2}$•OA²=8，解得OA=4，则OB=OA=4，OC=BC-OB=6，然后根据坐标轴上点的坐标特征写出△ABC三个顶点的坐标；
（2）分类讨论：当点P在在直线AB上方即a＞2；当点P在直线AB下方，即a＜2；利用面积的和与差求解；
（3）先计算出S_△ABC=20，利用（2）中的结果得到方程，然后分别求出a的值，从而确定P点坐标．

解答 解：（1）∵S_△ABO=$\frac{1}{2}$OA•OB，
∵OA=OB，
∴$\frac{1}{2}$OA²=8，解得OA=4，
∴OB=OA=4，
∴OC=BC-OB=10-4=6，
∴A（0，-4），B（-4，0），C（6，0）；
（2）当点P在第二象限，直线AB的上方，即a＞2，作PH⊥y轴于H，如图，

S_△PAB=S_△AOB+S_梯形BOHP-S_△PBH=8+$\frac{1}{2}$（4+6）•a-$\frac{1}{2}$•6•（a+4）=2a-4；
当点P在直线AB下方，即a＜2，作PH⊥x轴于H，如图，

S_△PAB=S_梯形OHPA-S_△PBH-S_△OAB=$\frac{1}{2}$（-a+4）•6-$\frac{1}{2}$•（6-4）•（-a）-8=4-2a；
（3）S_△ABC=$\frac{1}{2}$×10×4=20，
当2a-4=20，
解得a=12．
此时P点坐标为（-6，12）；
当4-2a=20，
解得a=-8．
此时P点坐标为（-6，-8）．
综上所述，点P的坐标为（-6，12）或（-6，-8）．

点评 本题考查了坐标与图形性质，利用点的坐标计算相应线段的长和判断线段与坐标轴的位置关系；掌握三角形面积公式．