Question

12．如图，在半径为1的⊙O中，E为$\widehat{AB}$的中点，C为⊙O上一动点（C与E在AB异侧），连结EC交AB于点F．
（1）D是AB延长线上的一点，若DC=DF，证明：直线DC与⊙O相切；
（2）若EB=$\frac{2}{3}$，求EF•EC的值；
（3）当四边形OEBC为平行四边形时，求弦AB的长．

Answer 1

分析 （1）连接OC、OE，OE交AB于H，如图1，由E是弧AB的中点，根据垂径定理的推论得到OE⊥AB，则∠HEF+∠HFE=90°，由对顶角相等得∠HFE=∠CFD，则∠HEF+∠CFD=90°，再由DC=DF得∠CFD=∠DCF，加上∠OCE=∠OEC，所以∠OCE+∠DCE=∠HEF+∠CFD=90°，于是根据切线的判定定理得直线DC与⊙O相切；
（2）连接BC，由$\widehat{AE}=\widehat{BE}$，根据圆周角定理得到∠ABE=∠BCE，证出△EBF∽△ECB，利用相似比得到EF•EC=$\frac{4}{9}$即可；
（3）先判断出四边形OEBC是菱形，进而得出△OBC是等边三角形，即可得出∠BOE=∠BOC=60°，即可得出结论．

解答 （1）证明：连结OC、OE，OE交AB于，如图1所示：

∵E是弧AB的中点，
∴OE⊥AB，
∴∠EHF=90°，
∴∠HEF+∠HFE=90°，
∵∠HFE=∠CFD，
∴∠HEF+∠CFD=90°，
∵DC=DF，
∴∠CFD=∠DCF，
∵OC=OE，
∴∠OCE=∠OEC，
∴∠OCE+∠DCE=∠HEF+∠CFD=90°，
∴OC⊥CD，
∴直线DC与⊙O相切；
（2）证明：连结BC，如图2所示：

∵E是弧AB的中点，
∴$\widehat{AE}=\widehat{BE}$，
∴∠ABE=∠BCE，
∵∠FEB=∠BEC，
∴△EBF∽△ECB，
∴$\frac{EF}{BE}=\frac{BE}{EC}$，
∴EF•EC=BE²=（$\frac{2}{3}$）²=$\frac{4}{9}$；
（3）如图3，

连接OB，OC，OE，BC，
∵四边形OEBC为平行四边形，而OC=OE，
∴四边形OEBC是菱形，OC=BC，
∵OB=OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠BOC=60°，
∴∠BOE=60°，
∵$\widehat{AE}=\widehat{BE}$，
∴AB=2BG，OE⊥AB，
在Rt△OBG中，∠OBG=90°-60°=30°，OB=1，
∴BG=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴AB=2BG=$\sqrt{3}$．

点评 此题是圆的综合题，主要考查了切线的判定、相似三角形的判定与性质、垂径定理、圆周角定理等知识；熟练掌握垂径定理及其推论、切线的判定定理和圆周角定理并利用相似三角形的性质是解决问题的关键．