Question

如图，抛物线y=ax²+bx+3经过点A（1，0）和B（3，0），点C（m，）在抛物线的对称轴上．
（1）求抛物线的函数表达式．
（2）求证：△ABC是等腰三角形．
（3）动点P在线段AC上，从点A出发以每钞1个单位的速度向C运动，同时动点Q在线段AB上，从B出发以每秒1个单位的速度向A运动．当Q到达点A时，两点同时停止运动．设运动时间为t秒，求当t为何值时，△APQ与△ABC相似．

Answer 1

解：（1）把A（1，0）和B（3，0）代入y=ax²+bx+3得：，
解得：，
∴抛物线的函数解析式是y=x²-4x+3．

（2）抛物线的对称轴是x=2，
∵点C（m，）在抛物线对称轴上，
∴m=2，
∴点C（2，），
∴CA==4，CB==4，
∴CA=CB
∴△ABC是等腰三角形．

（3）∠A是公共角，
①当∠APQ=∠ACB时，△APQ∽△ACB，
∵AB=2，AC=4，AP=t，AQ=2-t，
∴=，
解得：t=．
②当∠APQ=∠ABC时，△APQ∽△ABC，
∵AB=2，AC=4，AP=t，AQ=2-t，
∴=，
∴t=，
∴当t=或t=时，△APQ与△ABC相似．
分析：（1）将点A、点B的坐标代入抛物线解析式可得出a、b的值，继而得出抛物线的函数表达式；
（2）由抛物线解析式可得出m的值，求出CA、CB的长度，即可得出结论；
（3）分两种情况讨论，①当∠APQ=∠ACB时，△APQ∽△ACB，②当∠APQ=∠ABC时，△APQ∽△ABC，利用对应边成比例解出t的值即可．
点评：本题考查了二次函数的综合题，涉及了待定系数法求二次函数解析式、等腰三角形的判定及相似三角形的判定与性质，难点在第三问，关键是分类讨论，不要漏解，注意相似三角形的对应边成比例．