Question

17．在四边形ABCD中，∠DAB=∠DCB=45°，AD=$3\sqrt{2}$，DC=$5\sqrt{2}$，AB=7，则对角线AC的长为$2\sqrt{29}$．

Answer 1

分析 过D，C点作DE⊥AB，CF⊥AB，根据勾股定理得出AE和DE的长度，再得出BE的长度，得出DB的长度，进而得出CB和CF，最后利用勾股求出AC的长度．

解答 解：过D，C点作DE⊥AB，CF⊥AB，连接DB，如图：
∵∠DAB=45°，DE⊥AB，AD=$3\sqrt{2}$，
∴AE=3，DE=3，
∵AB=7，
∴BE=4，
∴DB=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}=5$，
∵∠DCB=45°，DC=$5\sqrt{2}$，DB=5，
∴BC=5，
∵∠EBD+∠CBF=90°，∠CDF+∠FCB=90°，
∴∠EBD=∠FCB，
在△DEB和△BFC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DEB=∠BFC}\\{∠EBD=∠FCB}\\{DB=BC}\end{array}\right.$，
∴△DEB≌△BFC（AAS），
∴BF=DE=3，CF=BE=4，
∴AF=7+3=10，
在Rt△ACF中，
AC=$\sqrt{1{0}^{2}+{4}^{2}}=2\sqrt{29}$．
故答案为：$2\sqrt{29}$．

点评 此题考查全等三角形的判定和性质，关键是构建全等三角形，同时运用勾股定理进行计算．