Question

7．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，点E、F、G分别是BD、AC、DC的中点．已知两底差是6，两腰和是12，则△EFG的周长是9．

Answer 1

分析 延长EF交BC于点H，可知EF，FH，FG、EG分别为△BDC、△ABC、△BDC和△ACD的中位线，由三角形中位线定理结合条件可求得EF+FG+EG，可求得答案．

解答 解：连接AE，并延长交CD于K，
∵AB∥CD，
∴∠BAE=∠DKE，∠ABD=∠EDK，
∵点E、F、G分别是BD、AC、DC的中点．
∴BE=DE，
在△AEB和△KED中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAE=∠DKE}\\{∠ABD=∠EDK}\\{BE=DE}\end{array}\right.$，
∴△AEB≌△KED（AAS），
∴DK=AB，AE=EK，EF为△ACK的中位线，
∴EF=$\frac{1}{2}$CK=$\frac{1}{2}$（DC-DK）=$\frac{1}{2}$（DC-AB），
∵EG为△BCD的中位线，∴EG=$\frac{1}{2}$BC，
又FG为△ACD的中位线，∴FG=$\frac{1}{2}$AD，
∴EG+GF=$\frac{1}{2}$（AD+BC），
∵两腰和是12，即AD+BC=12，两底差是6，即DC-AB=6，
∴EG+GF=6，FE=3，
∴△EFG的周长是6+3=9．
故答案为：9．

点评 此题考查的是三角形中位线的性质，即三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．