Question

（2013•鞍山一模）如图，已知二次函数y=ax²+bx+8（a≠0）的图象与x轴交与A，B两点，与y轴交与点C，已知点A的坐标为（-2，0），sin∠ABC=

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5

，点D是抛物线的顶点，直线DC交x轴于点E．
（1）求抛物线的解析式及其顶点D的坐标；
（2）在直线CD上是否存在一点Q，使以B，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）点P是直线y=2x-4上一点，过点P作直线PM垂直于直线CD，垂足为M，若∠MPO=75°，求出点P的坐标．

Answer 1

分析：（1）先由二次函数的解析式求出点C的坐标，然后在Rt△BOC中，根据sin∠ABC的值得到点B的坐标，再将A、B两点的坐标代入抛物线的解析式，利用待定系数法求出解析式，通过对解析式进行配方即可得到顶点D的坐标；
（2）先利用待定系数法求出直线CD的解析式为y=x+8，那么可设Q点的坐标为（x，x+8）．当以B，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形时，分三种情况进行讨论：①BQ=BC；②CQ=BC；③QB=QC．然后针对每一种情况，根据两点间的距离公式列出方程，解方程即可；
（3）先求出直线CD：y=x+8与x轴的交点E的坐标，得到OC=OE=8，∠CEO=45°．设直线y=2x-4与直线CD交于点F，分两种情况进行讨论：①当点P在点F的下方时，过点P作PQ⊥x轴于点Q．根据四边形内角和定理求出∠MPQ=135°，根据三角形内角和定理求出∠POQ=30°，得到直线OP的解析式为y=

3

3

x，解方程组

y= 3 3 x y=2x-4

即可求出点P的坐标；②当点P在点F的上方时，过点P作PQ⊥x轴于点Q，设直线CD与直线OP交于点G．根据三角形内角和定理及外角的性质得出∠GOQ=60°，得到直线OP的解析式为y=

3

x，解方程组

y= 3 x y=2x-4

即可求出点P的坐标．

解答：解：（1）∵二次函数y=ax²+bx+8（a≠0）的图象与y轴交与点C，
∴点C（0，8），即OC=8；
Rt△OBC中，BC=OC÷sin∠ABC=8÷

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5

=4

5

，
OB=

BC2-OB2

=4，
则点B（4，0）．
将A、B的坐标代入抛物线的解析式中，得：

4a-2b+8=0 16a+4b+8=0

．
解得

a=-1 b=2

，
故抛物线的解析式：y=-x²+2x+8=-（x-1）²+9，顶点D（1，9）；

（2）在直线CD上存在点Q，能够使以B，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．理由如下：
设直线CD的解析式为y=kx+m，
将C（0，8），D（1，9）代入，
得

m=8 k+m=9

，解得

k=1 m=8

，
则直线CD的解析式为y=x+8．
设Q点的坐标为（x，x+8）．
以B，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形时，分三种情况讨论：
①当BQ=BC=4

5

时，有（x-4）²+（x+8）²=80，
整理，得2x²+8x=0，
解得x₁=-4，x₂=0（不合题意，舍去）．
当x=-4时，x+8=4，即此时Q点的坐标为（-4，4）；
②当CQ=BC=4

5

时，有x²+（x+8-8）²=80，
整理，得2x²=80，
解得x₁=2

10

，x₂=-2

10

．
当x=2

10

时，x+8=2

10

+8，即此时Q点的坐标为（2

10

，2

10

+8）；
当x=-2

10

时，x+8=-2

10

+8，即此时Q点的坐标为（-2

10

，-2

10

+8）；
③当QB=QC时，有（x-4）²+（x+8）²=x²+（x+8-8）²，
整理，得8x+80=0，
解得x=-10．
当x=-10时，x+8=-2，即此时Q点的坐标为（-10，-2）．
综上可知，在直线CD上存在点Q，能够使以B，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形，此时点Q的坐标为（-4，4）或（2

10

，2

10

+8）或（-2

10

，-2

10

+8）或（-10，-2）；

（3）设直线CD：y=x+8与x轴交于点E，则点E（-8，0），OC=OE=8，∠CEO=45°．
设直线y=2x-4与直线CD交于点F，分两种情况讨论：
①当点P在点F的下方时，如右图1，过点P作PQ⊥x轴于点Q．
在四边形EMPQ中，∠MPQ=360°-∠PME-∠PQE-∠MEQ=360°-90°-90°-45°=135°，
当∠MPO=75°时，∠OPQ=135°-75°=60°，∠POQ=30°，则直线OP的解析式为y=

3

3

x．
解方程组

y= 3 3 x y=2x-4

，得

x= 24+4 3 11 y= 4+8 3 11

，
即此时P点的坐标为（

24+4 3

11

，

4+8 3

11

）；
②当点P在点F的上方时，如右图2，过点P作PQ⊥x轴于点Q，设直线CD与直线OP交于点G．
在△MPG中，∠MGP=180°-∠PMG-∠GPM=180°-90°-75°=15°，
∴∠EGO=∠MGP=15°，
∴∠GOQ=∠GEO+∠EGO=45°+15°=60°，
∴直线OP的解析式为y=

3

x．
解方程组

y= 3 x y=2x-4

，得

x=8+4 3 y=8 3 +12

，
即此时P点的坐标为（8+4

3

，8

3

+12）．
综上可知，点P的坐标为（

24+4 3

11

，

4+8 3

11

）或（8+4

3

，8

3

+12）．

点评：本题是二次函数的综合题，其中涉及到运用待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，二次函数的性质，解直角三角形，等腰三角形的性质，多边形内角和定理，两点间的距离公式，两函数交点坐标的求法等知识，综合性较强，有一定难度．利用分类讨论及数形结合的思想是解题的关键．