Question

17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D、E分别是线段AB、BC的中点，连接DE，将△DBE沿直线BC翻折得△FBE，连接FC、DC．
（1）求证：四边形BFCD为菱形；
（2）若AB=12，sinA=$\frac{2}{3}$，求四边形ABFC的面积．

Answer 1

分析 （1）根据四边相等的四边形是菱形即可证明．
（2）先证明S_{四边形ABFC}=3S_△ADC=$\frac{3}{2}$S_△ABC，然后求出△ABC的面积即可．

解答 （1）证明：∵∠ACB=90°，BD=AD，
∴CD=DB=DA，
∵△BEF是由△BED翻折，
∴BF=BD，BC是DF的垂直平分线，
∴CF=CD，
∴BF=FC=CD=DB，
∴四边形BDCF是菱形．
（2）解：在RT△ABC中，AB=12，sinA=$\frac{2}{3}$，
∴BC=AB•sinA=8，AC=$\sqrt{A{B}^{2}-B{C}^{2}}$=4$\sqrt{5}$
∵四边形BDCF是菱形，BD=AD，
∴S_△BCF=S_△BCD=S_△ACD，
∴S_{四边形ABFC}=3S_△ADC=$\frac{3}{2}$S_△ABC=$\frac{3}{2}$×$\frac{1}{2}$×$4\sqrt{5}$×8=24$\sqrt{5}$．

点评 本题考查菱形的判定和性质、翻折的性质、三角函数四边形的面积等知识，把四边形面积转化为求三角形面积，可以简便运算，属于基础题．