Question

8．在△ABC中，∠CAB+2∠ABC=90°，点D为AB边中点，连接CD，若∠DCB=45°，AB=2$\sqrt{10}$，则CD=2．

Answer 1

分析 作∠CAB平分线根据∠CAB+2∠ABC=90°、∠DCB=45°可得AE⊥CD；由点D为AB边中点知AC=AD；过点D作DF∥AE交BC于点F结合D为AB中点、M是CD中点可得CE=EF=BF，设CM=x分别表示出DE、EN、DN的长，根据DC=DF、CE=EF知∠DEN=90°，在RT△DEN中，根据勾股定理求得x的值即可．

解答 解：作∠CAB平分线AE交CD于M，交BC于E，

∵∠CAB+2∠ABC=90°，
∴$\frac{1}{2}$∠CAB+∠ABC=∠CEA=45°，
∵∠DCB=45°，
∴AE⊥CD，
∵点D为AB边中点，AB=2$\sqrt{10}$
∴AC=AD=$\sqrt{10}$，
过点D作DF∥AE交BC于点F，
∵AD=BD，CM=DM，
∴EF=BF，CE=EF，
∴CE=EF=BF，
设CM=x，则CE=$\sqrt{2}$x，CD=DF=2x，
取BC中点N，连接DE、DN，
则DN=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{\sqrt{10}}{2}$，DE=$\sqrt{2}$x，EN=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，
∵DC=DF，CE=EF，
∴∠DEN=90°，
故DE²+EN²=DN²，即（$\sqrt{2}$x）²+（$\frac{\sqrt{2}}{2}$x）²=（$\frac{\sqrt{10}}{2}$）²，
解得：x=1，
则CD=2x=2．
故答案为：2．

点评 本题主要考查了等腰三角形性质、中位线定理及勾股定理的运用，根据题意构造出直角三角形是解题的出发点，表示出所需线段的长度并运用到直角三角形中是关键．