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【题目】如图①,矩形ABCDAB=4,BCmm>1),点EAD边上一定点,且AE=1.

(1)m=3AB上存在点F使AEF与△BCF相似,求AF的长度.

(2)如图②,m=3.5用直尺和圆规在AB上作出所有使AEF与△BCF相似的点F(不写作法,保留作图痕迹)

(3)对于每一个确定的m的值,AB上存在几个点F,使得△AEF与△BCF相似?

【答案】(1)AF=13;(2)见解析;(3)1<m<4m3时,有3个;

m3时,有2个;当m4时,有2个; m>4时,有1

【解析】试题分析:

(1)由题意可知,∠A=∠B=90°,由此可知要使AEF与△BCF相似,存在两种情况:①当∠AEF=∠BFC则两三角形相似;②当∠AEF=∠BCF时, 则两三角形相似;由这两种情况分别根据已知条件进行计算即可得到相应的AF的值;

(2)如下图所示:延长DAE′,使AE′=AE,连接CE′AB于点F1;②连接CE,以CE为直径作圆,分别交AB于点F2、F3F1、F2、F3为所求点;

(3)结合(1)(2)可知,当m=3时,符合条件的点F2个,当m=4符合条件的点F也有2个,而当1<m<4, m3符合条件的点F3个;而当m>4时,以CE为直径的圆和AB相离,此时符合条件的点F只有1.

试题解析

(1)①∠AEF=∠BFC时,

要使△AEF△BFC,需,即

解得AF=13;

∠AEF=∠BCF时,

要使△AEF△BCF,需,即

解得AF=1;

综上所述AF=13

(2)如下图所示图中F1、F2、F3为所求点;

提示:延长DA,作点E关于AB的对称点E′,连结CE′,交AB于点F1连结CE,以CE为直径作圆交AB于点F2、F3);

(3)(2)中所作图形,

m=4时,由已知条件可得DE=3,则CE=5,即图中圆的直径为5,由梯形中位线定理可得此时图中所作圆的圆心到AB的距离=2.5=所作圆的半径,F2F3重合,即当m=4时,符合条件的F2个;

m>4时,图中所作圆和AB相离,此时F2F3不存在了,即此时符合条件的F只有F11个;

而当1<m<4m3时,由所作图形可知,符合条件的F3

综上所述可得:①1<m<4m3时,符合条件的F3个;m3时,符合条件的F2个;m4时,符合条件的F2个;m>4时,符合条件的F1.

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收集数据

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________.①随机抽取一个班级的48名学生;②在九年级学生中随机抽取48名女学生;

③在九年级12个班中每班各随机抽取4名学生.

【整理数据】

(2)将抽取的48名学生的成绩进行分组,绘制成绩频数分布表和成绩分布扇形统计图如下.

请根据图表中数据填空:

表中m的值为________

B类部分的圆心角度数为________°

估计CD类学生大约一共有_________名.

九年级学生数学成绩频数分布表

成绩(单位:分)

频数

频率

A类(80~100)

24

B类(60~79)

12

C类(40~59)

8

m

D类(0~39)

4

【分析数据】

(3)教育主管部们为了解学校学生成绩情况,将同层次的城南、城北两所中学的抽样数据进行对比分析,得到下表:

学校

平均数(分)

方差

AB类的频率和

城南中学

71

358

0.75

城北中学

71

588

0.82

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