【题目】如图①,矩形ABCD中,AB=4,BC=m(m>1),点E是AD边上一定点,且AE=1.
(1)当m=3时,AB上存在点F,使△AEF与△BCF相似,求AF的长度.
(2)如图②,当m=3.5时.用直尺和圆规在AB上作出所有使△AEF与△BCF相似的点F.(不写作法,保留作图痕迹)
(3)对于每一个确定的m的值,AB上存在几个点F,使得△AEF与△BCF相似?
【答案】(1)AF=1或3;(2)见解析;(3)当1<m<4且m≠3时,有3个;
当m=3时,有2个;当m=4时,有2个; 当m>4时,有1个.
【解析】试题分析:
(1)由题意可知,∠A=∠B=90°,由此可知要使△AEF与△BCF相似,存在两种情况:①当∠AEF=∠BFC时,若,则两三角形相似;②当∠AEF=∠BCF时, 若,则两三角形相似;由这两种情况分别根据已知条件进行计算即可得到相应的AF的值;
(2)如下图所示:①延长DA到E′,使AE′=AE,连接CE′交AB于点F1;②连接CE,以CE为直径作圆,分别交AB于点F2、F3;则F1、F2、F3为所求点;
(3)结合(1)(2)可知,当m=3时,符合条件的点F有2个,当m=4时,符合条件的点F也有2个,而当1<m<4,且 m≠3时,符合条件的点F有3个;而当m>4时,以CE为直径的圆和AB相离,此时符合条件的点F只有1个.
试题解析:
(1)①当∠AEF=∠BFC时,
要使△AEF∽△BFC,需,即,
解得AF=1或3;
②当∠AEF=∠BCF时,
要使△AEF∽△BCF,需=,即,
解得AF=1;
综上所述AF=1或3
(2)如下图所示,图中F1、F2、F3为所求点;
(提示:延长DA,作点E关于AB的对称点E′,连结CE′,交AB于点F1;连结CE,以CE为直径作圆交AB于点F2、F3);
(3)如(2)中所作图形,
当m=4时,由已知条件可得DE=3,则CE=5,即图中圆的直径为5,由梯形中位线定理可得此时图中所作圆的圆心到AB的距离=2.5=所作圆的半径,F2和F3重合,即当m=4时,符合条件的F有2个;
当m>4时,图中所作圆和AB相离,此时F2和F3不存在了,即此时符合条件的F只有F11个;
而当1<m<4且m≠3时,由所作图形可知,符合条件的F有3个;
综上所述:可得:①当1<m<4且m≠3时,符合条件的F有3个; ②当m=3时,符合条件的F有2个;③当m=4时,符合条件的F有2个;④当m>4时,符合条件的F有1个.
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【题目】已知:如图,在ABCD中,E,F分别是边AD,BC上的点,且AE=CF,直线EF分别交BA的延长线、DC的延长线于点G,H,交BD于点O.
(1)求证:△ABE≌△CDF;
(2)连接DG,若DG=BG,则四边形BEDF是什么特殊四边形?请说明理由.
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【题目】在△ABC中,BD平分∠ABC,EF垂直平分BD交CA延长线于点E.
(1)求证:ED2=EAEC;
(2)若ED=6,BD=CD=3,求BC的长.
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【题目】城南中学九年级共有12个班,每班48名学生,学校对该年级学生数学学科学业水平测试成绩进行了抽样分析,请按要求回答下列问题:
【收集数据】
(1)要从九年级学生中抽取一个48人的样本,你认为以下抽样方法中最合理的是
________.①随机抽取一个班级的48名学生;②在九年级学生中随机抽取48名女学生;
③在九年级12个班中每班各随机抽取4名学生.
【整理数据】
(2)将抽取的48名学生的成绩进行分组,绘制成绩频数分布表和成绩分布扇形统计图如下.
请根据图表中数据填空:
①表中m的值为________;
② B类部分的圆心角度数为________°;
③估计C、D类学生大约一共有_________名.
九年级学生数学成绩频数分布表
成绩(单位:分) | 频数 | 频率 |
A类(80~100) | 24 | |
B类(60~79) | 12 | |
C类(40~59) | 8 | m |
D类(0~39) | 4 |
【分析数据】
(3)教育主管部们为了解学校学生成绩情况,将同层次的城南、城北两所中学的抽样数据进行对比分析,得到下表:
学校 | 平均数(分) | 方差 | A、B类的频率和 |
城南中学 | 71 | 358 | 0.75 |
城北中学 | 71 | 588 | 0.82 |
请你评价这两所学校学生数学学业水平测试的成绩,提出一个解释来支持你的观点.
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【题目】如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,AB的垂直平分线分别交AB和AC于点D,E.
(1)求证:AE=2CE;
(2)连接CD,请判断△BCD的形状,并说明理由.
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【题目】a,b分别是数轴上两个不同点A,B所表示的有理数,且|a|=5,|b|=2,A,B两点在数轴上的位置如图所示:
(1)试确定数a,b;
(2)A,B两点相距多少个单位长度?
(3)若C点在数轴上,C点到B点的距离是C点到A点距离的,求C点表示的数;
(4)点P从A点出发,先向左移动1个单位长度,再向右移动2个单位长度,再向左移动3个单位长度,再向右移动4个单位长度,依次操作2 019次后,求P点表示的数.
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【题目】二次函数(a<0)图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣3,1,与y轴交于点C,下面四个结论:
①16a﹣4b+c<0;②若P(﹣5,y1),Q(,y2)是函数图象上的两点,则y1>y2;③a=﹣c;④若△ABC是等腰三角形,则b=﹣.其中正确的有______(请将结论正确的序号全部填上)
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【题目】实践与探究
如图,在平面直角坐标系中,直线交轴于点,交轴于点,点坐标为。直线与直线相交于点,点的横坐标为1。
(1)求直线的解析式;
(2)若点是轴上一点,且的面积是面积的,求点的坐标;
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