【题目】如图,已知二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A(1,0)、B(3,0),与y轴交于点C.
(1)求二次函数的解析式;
(2)若点P为抛物线上的一点,点F为对称轴上的一点,且以点A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形,求点P的坐标;
(3)点E是二次函数第四象限图象上一点,过点E作x轴的垂线,交直线BC于点D,求四边形AEBD面积的最大值及此时点E的坐标.
【答案】(1)y=x2﹣4x+3;(2)点P(4,3)或(0,3)或(2,﹣1);(3)最大值为 ,E(,﹣).
【解析】
(1)用交点式函数表达式,即可求解;
(2)分当AB为平行四边形一条边、对角线,两种情况,分别求解即可;
(3)利用S四边形AEBD=AB(yD﹣yE),即可求解.
解:(1)用交点式函数表达式得:y=(x﹣1)(x﹣3)=x2﹣4x+3;
故二次函数表达式为:y=x2﹣4x+3;
(2)①当AB为平行四边形一条边时,如图1,
则AB=PE=2,
则点P坐标为(4,3),
当点P在对称轴左侧时,即点C的位置,点A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形,
故:点P(4,3)或(0,3);
②当AB是四边形的对角线时,如图2,
AB中点坐标为(2,0)
设点P的横坐标为m,点F的横坐标为2,其中点坐标为: ,
即:=2,解得:m=2,
故点P(2,﹣1);
故:点P(4,3)或(0,3)或(2,﹣1);
(3)直线BC的表达式为:y=﹣x+3,
设点E坐标为(x,x2﹣4x+3),则点D(x,﹣x+3),
S四边形AEBD=AB(yD﹣yE)=﹣x+3﹣x2+4x﹣3=﹣x2+3x,
∵﹣1<0,故四边形AEBD面积有最大值,
当x=,其最大值为,此时点E(,﹣).
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如果抛物线的顶点在拋物线上,抛物线的顶点也在拋物线上时,那么我们称抛物线与“互为关联”的抛物线.如图1,已知抛物线:与:是“互为关联”的拋物线,点分别是抛物线,的顶点,抛物线经过点.
(1)直接写出的坐标和抛物线的解析式;
(2)抛物线上是否存在点,使得是直角三角形?如果存在,请求出点E的坐标;如果不存在,请说明理由;
(3)如图2,点在抛物线上,点分别是抛物线,上的动点,且点的横坐标相同,记面积为(当点与点重合时),的面积为(当点与点重合时,),令,观察图象,当时,写出的取值范围,并求出在此范围内的最大值.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】已知抛物线y=ax2+bx+c(a>0)的对称轴为x=-1,交x轴的一个交点为(x1,0),且0<x1<1, 则下列结论:①b>0,c<0;②a-b+c>0 ;③b<a ④ 3a+c>0,⑤9a-3b+c>0,其中正确的命题有( )个.
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】某校在开展读书交流活动中,全体师生积极捐书,为了解所捐书籍的种类,对部分书据进行了抽样调查,李老师根据调查数据绘制了如下不完整的统计图,请根据统计图回答下面问题:
(1)本次抽样调查的书有 本;
(2)将条形统计图补充完整;
(3)本次活动师生共捐书1600本,请估计科普类书籍的本数.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】某社区决定把一块长50m,宽30m的矩形空地建成居民健身广场,设计方案如图,阴影区域为绿化区(四块绿化区为大小、形状都相同的矩形),空白区域为活动区,且四周的4个出口宽度相同,当绿化区较长边x为何值时,活动区的面积达到1341m2?
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图的中,,且为上一点.今打算在上找一点,在上找一点,使得与全等,以下是甲、乙两人的作法:
(甲)连接,作的中垂线分别交、于点、点,则、两点即为所求
(乙)过作与平行的直线交于点,过作与平行的直线交于点,则、两点即为所求
对于甲、乙两人的作法,下列判断何者正确?( )
A. 两人皆正确B. 两人皆错误
C. 甲正确,乙错误D. 甲错误,乙正确
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】已知关于x的一元二次方程。
(1)求证:方程有两个不相等的实数根;
(2)若△ABC的两边AB、AC的长是方程的两个实数根,第三边BC的长为5。当△ABC是等腰三角形时,求k的值。
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=60°,BC=2cm,D为BC的中点,若动点E以1cm/s的速度从A点出发,沿着A→B→A的方向运动,设E点的运动时间为t秒(0≤t<6),连接DE,当△BDE是直角三角形时,t的值为
A、2 B、2.5或3.5 C、3.5或4.5 D、2或3.5或4.5
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com