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【题目】如图,已知二次函数yx2+bx+c的图象与x轴交于点A10)、B30),与y轴交于点C

1)求二次函数的解析式;

2)若点P为抛物线上的一点,点F为对称轴上的一点,且以点ABPF为顶点的四边形为平行四边形,求点P的坐标;

3)点E是二次函数第四象限图象上一点,过点Ex轴的垂线,交直线BC于点D,求四边形AEBD面积的最大值及此时点E的坐标.

【答案】1yx24x+3;(2)点P43)或(03)或(2,﹣1);(3)最大值为E,﹣).

【解析】

1)用交点式函数表达式,即可求解;

2)分当AB为平行四边形一条边、对角线,两种情况,分别求解即可;

3)利用S四边形AEBDAByDyE),即可求解.

解:(1)用交点式函数表达式得:y=(x1)(x3)=x24x+3

故二次函数表达式为:yx24x+3

2)①当AB为平行四边形一条边时,如图1

ABPE2

则点P坐标为(43),

当点P在对称轴左侧时,即点C的位置,点ABPF为顶点的四边形为平行四边形,

故:点P43)或(03);

②当AB是四边形的对角线时,如图2

AB中点坐标为(20

设点P的横坐标为m,点F的横坐标为2,其中点坐标为:

即:2,解得:m2

故点P2,﹣1);

故:点P43)或(03)或(2,﹣1);

3)直线BC的表达式为:y=﹣x+3

设点E坐标为(xx24x+3),则点Dx,﹣x+3),

S四边形AEBDAByDyE)=﹣x+3x2+4x3=﹣x2+3x

∵﹣10,故四边形AEBD面积有最大值,

x,其最大值为,此时点E,﹣).

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