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【题目】如果抛物线的顶点在拋物线上,抛物线的顶点也在拋物线上时,那么我们称抛物线互为关联的抛物线.如图1,已知抛物线互为关联的拋物线,点分别是抛物线的顶点,抛物线经过点

1)直接写出的坐标和抛物线的解析式;

2)抛物线上是否存在点,使得是直角三角形?如果存在,请求出点E的坐标;如果不存在,请说明理由;

3)如图2,点在抛物线上,点分别是抛物线上的动点,且点的横坐标相同,记面积为(当点与点重合时),的面积为(当点与点重合时,),令,观察图象,当时,写出的取值范围,并求出在此范围内的最大值.

【答案】1;(2;理由见解析;(3-2x2,当时,的最大值为16

【解析】

1)由抛物线可得,将代入,求得

(2)易得直线的解析式:,①若为直角顶点,;②若为直角顶点,;③若为直角顶点,设不符合题意;

(3)由,得,设,且,易求直线的解析式:,过轴的平行线,设于点,易知,所以,当时,的最大值为.

(1)由抛物线可得

代入

解得

2)易得直线的解析式:

①若为直角顶点,

直线解析式为

联立

解得

②若为直角顶点,

同理得解析式:

联立

解得

③若为直角顶点,设

(无解)

解得(不符合题意舍去),

∴点

3)∵

,且

易求直线的解析式:

轴的平行线

于点,易知

时,的最大值为16

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