【题目】如果抛物线的顶点在拋物线上,抛物线的顶点也在拋物线上时,那么我们称抛物线与“互为关联”的抛物线.如图1,已知抛物线:与:是“互为关联”的拋物线,点分别是抛物线,的顶点,抛物线经过点.
(1)直接写出的坐标和抛物线的解析式;
(2)抛物线上是否存在点,使得是直角三角形?如果存在,请求出点E的坐标;如果不存在,请说明理由;
(3)如图2,点在抛物线上,点分别是抛物线,上的动点,且点的横坐标相同,记面积为(当点与点重合时),的面积为(当点与点重合时,),令,观察图象,当时,写出的取值范围,并求出在此范围内的最大值.
【答案】(1),,;(2)或;理由见解析;(3)-2≤x≤2,当时,的最大值为16.
【解析】
(1)由抛物线:可得,将,代入,求得,;
(2)易得直线的解析式:,①若为直角顶点,,;②若为直角顶点,,;③若为直角顶点,设不符合题意;
(3)由,得,设,,且,易求直线的解析式:,过作轴的平行线交于,,设交于点,易知,,所以,当时,的最大值为.
(1)由抛物线:可得,
将代入
得,
解得,
∴,
∴;
(2)易得直线的解析式:,
①若为直角顶点,,
∴,
直线解析式为
联立,
解得或,
∴;
②若为直角顶点,,
同理得解析式:,
联立,
解得或,
∴;
③若为直角顶点,设
由得,
即,
或(无解)
解得或(不符合题意舍去),
∴点或;
(3)∵,
∴,
设,,且,
易求直线的解析式:,
过作轴的平行线交于,
则,
设交于点,易知,
,
当时,的最大值为16.
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【题目】如图为一桥洞的形状,其正视图是由圆弧和矩形ABCD构成.O点为所在⊙O的圆心,点O又恰好在AB为水面处.若桥洞跨度CD为8米,拱高(OE⊥弦CD于点F)EF为2米.
(1)求所在⊙O的半径DO;
(2)若河里行驶来一艘正视图为矩形的船,其宽6米,露出水面AB的高度为h米,求船能通过桥洞时的最大高度h.
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【题目】冬天来了,晒衣服成了头疼的事情,聪明的小华想到一个好办法,在家后院地面(BD)上立两根等长的立柱AB、CD(均与地面垂直),并在立柱之间悬挂一根绳子.由于挂的衣服比较多,绳子的形状近似成了抛物线y=ax2-0.8x+c,如图1,已知立柱AB=CD=2.6米,BD=8米.
(1)求绳子最低点离地面的距离;
(2)为了防止衣服碰到地面,小华在离AB为3米的位置处用一根垂直于地面的立柱MN撑起绳子(如图2),使左边抛物线F1的最低点距MN为1米,离地面1.6米,求MN的长.
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【题目】连接着汉口集家咀的江汉三桥(晴川桥),是一座下承式钢管混凝土系杆拱桥.它犹如一道美丽的彩虹跨越汉江,是江城武汉的一道靓丽景观.桥的拱肋ACB视为抛物线的一部分,桥面(视为水平的)与拱肋用垂直于桥面的系杆连接,相邻系杆之间的间距均为5米(不考虑系杆的粗细),拱肋的跨度AB为280米,距离拱肋的右端70米处的系杆EF的长度为42米.以AB所在直线为x轴,抛物线的对称轴为y轴建立如图②所示的平面直角坐标系.
(1)求抛物线的解析式;
(2)正中间系杆OC的长度是多少米?是否存在一根系杆的长度恰好是OC长度的一半?请说明理由.
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【题目】如图,在矩形ABCD中,对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点N,连接BM,DN.
(1)求证:四边形BMDN是菱形;
(2)若AB=4,AD=8,求MD的长.
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【题目】如图,AB是⊙O的直径,弦DE垂直平分半径OA,C为垂足,弦DF与半径OB相交于点P,连接EF、EO,若DE=2,∠DPA=45°.
(1)求⊙O的半径;
(2)求图中阴影部分的面积.
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【题目】如图,⊙O是△ABC的外接圆,∠ABC=45°,OC∥AD,AD交BC的延长线于D,AB交OC于E.
(1)求证:AD是⊙O的切线;
(2)若⊙O的直径为6,线段BC=2,求∠BAC的正弦值.
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【题目】(本题满分10分)阅读下列材料:
(1)关于x的方程x2-3x+1=0(x≠0)方程两边同时乘以得: 即, ,
(2)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2);a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2).
根据以上材料,解答下列问题:
(1)x2-4x+1=0(x≠0),则= ______ , = ______ , = ______ ;
(2)2x2-7x+2=0(x≠0),求的值.
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【题目】如图,已知二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A(1,0)、B(3,0),与y轴交于点C.
(1)求二次函数的解析式;
(2)若点P为抛物线上的一点,点F为对称轴上的一点,且以点A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形,求点P的坐标;
(3)点E是二次函数第四象限图象上一点,过点E作x轴的垂线,交直线BC于点D,求四边形AEBD面积的最大值及此时点E的坐标.
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