Question

通过实验研究，专家们发现：初中生听课的注意力指标数是随老师讲课时间的变化而变化的，讲课开始时，学生的兴趣激增，中间有一段时间，学生的兴趣保持平稳的状态，随后开始分散．学生注意力指标数y随时间x（分钟）变化的函数图象如图所示（y越大表示学生注意力越集中）．当0≤x≤10时，图象是抛物线的一部分；当10≤x≤20和20≤x≤45时，图象是线段．
（1）当0≤x≤10时，求y关于x的函数关系式；
（2）一道数学竞赛题需要讲解24分钟，问老师能否经过适当安排使学生在听这道题时，注意力的指标数都不低于36？

Answer 1

分析：（1）先由图象上的三点坐标求出抛物线的关系式，再由图象上的两点坐标求出一次函数的关系式；
（2）因为当20≤x≤45时，由（1）可得到y关于x的函数关系式；再把y=36代入求出满足题意的x的值即可．

解答：解：（1）设当0≤x≤10时，函数的解析式为y=ax²+bx+c，
由图象知抛物线过（0，20），（5，39），（10，48）三点，
∴

c=20 25a+5b+c=39 100a+10b+c=48

，
解得a=-

1

5

，b=

24

5

，c=20，
∴当0≤x≤10时，
y关于x的函数关系式为y=-

1

5

x2+

24

5

x+20（0≤x≤10）；

（2）当10≤x≤20时，y=48，
当20≤x≤45时，y=-

28

25

x+

352

5

，
令y=36，则由-

1

5

x2+

24

5

x+20=36，
解得x=4或x=20（舍去），
由-

28

25

x+

352

5

=36解得x=30

5

7

，
∴在上课4分钟后和30

5

7

分钟前，学生注意力的指标数都超过36．

点评：本题考查了二次函数的应用，此题综合性强，把二次函数、一次函数有机地与实际问题融合在一起，并与高中的分段函数相联系，起到承前启后的作用．