Question

已知抛物线y=x²+ax+a-2．
（1）证明：此抛物线与x轴总有两个不同的交点；
（2）求这两个交点间的距离（用关于a的表达式来表达）；
（3）a取何值时，两点间的距离最小？

Answer 1

解：（1）证明：∵y=x²+ax+a-2，
∵△=a²-4（a-2）=a²-4a+8=a²-4a+4+4=（a-2）²+4，
又∵（a-2）²+4＞0，
∴△＞0，
∴此抛物线与x轴总有两个不同的交点．

（2）解：设二次函数y=x²+ax+a-2与x轴的两交点的横坐标为x₁，x₂，
则方程x²+ax+a-2=0的两个根为x₁，x₂，
得x₁+x₂=-a，x₁x₂=a-2，
∴．

（3）由（2）知当a=2时，两点间的距离最小为2．
分析：（1）令y=0，根据方程根的判别式△与0的关系来证明；
（2）设出方程x²+ax+a-2=0，两根为x₁，x₂，根据两根与函数系数之间的关系，用其表示出两根间的距离；
（3）根据（2）的表达式，对两根间距离的表达式进行配方，从而求出最小值；
点评：此题主要考查一元二次方程与函数的关系，函数与x轴的交点的横坐标就是方程的根，此题主要考查方程的根与函数系数的关系．