Question

1．如图，已知AD=AE，∠BDE=∠CED，∠ABD=∠ACE．
（1）求证：AB=AC；
（2）若∠DAE=2∠ABC=140°，求∠BAD的度数．

Answer 1

分析 （1）由等腰三角形的性质可知∠ADE=∠AED，从而可得到∠ADB=∠AEC，依据AAS可证明△ADB≌△AEC；
（2）由题意可知：∠ABC=70°，由等腰三角形的性质可知∠ABC=∠ACB=70°，由三角形内角和定理可知∠BAC=40°，由△ADB≌△AEC可知∠DAB=∠EAC，故此∠BAD=$\frac{1}{2}$（360°-140°-40°）=90°．

解答 （1）证明：∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED．
∵∠BDE=∠CED，
∴∠BDE-∠ADE=∠CED-∠AED．
∴∠ADB=∠AEC．
在△ADB和△AEC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADB=∠AEC\\;}\\{∠ABD=∠ACE}\\{AD=AE}\end{array}\right.$
∴△ADB≌△AEC．
∴AB=AC．
（2）解：∵2∠ABC=140°，
∴∠ABC=70°．
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=70°．
∴∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=40°．
∵△ADB≌△AEC，
∴∠DAB=∠EAC．
∵∠DAE=140°，
∴∠BAD=$\frac{1}{2}$（360°-140°-40°）=90°．

点评 本题主要考查的是全等三角形的性质和判定、等腰三角形的性质，证得△ADB≌△AEC是解题的关键．