Question

如图，直线yy₁=x-1与直线y₂=-

1

2

x+2交于点B，直线y1、 y2与x轴、y轴的交点分别是A、C．
（1）求点B的坐标及两直线与坐标轴围成的四边形ABCO的面积；
（2）连接AC，P（-1，a）为坐标系中的一个动点，是否存在点P，使得△PAC和△OAC的面积相等？若存在求出a的值，若不存在说明理由．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：综合题

分析：（1）联立

y=x-1 y=- 1 2 x+2

，解该方程组就可得到点B的坐标；过点B作BE⊥y轴于点E，点B作BF⊥x轴于点F，连接OB，如图1，易得BE、BF、OA、OC的长，然后用割补法就可解决问题；
（2）由△PAC和△OAC的面积相等可证到OP∥AC，然后用待定系数法求出AC的解析式，从而得到OP的解析式，就可求出a的值．

解答：解：（1）联立

y=x-1 y=- 1 2 x+2

，
解得：

x=2 y=1

，
∴点B的坐标为（2，1）．
过点B作BE⊥y轴于点E，点B作BF⊥x轴于点F，连接OB，如图1，
则有BE=2，BF=1．
∵直线y₁=x-1与x轴的交点是A，直线y₂=-

1

2

x+2与y轴的交点是C，
∴点A的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，2），
∴OA=1，OC=2，
∴S_{四边形OABC}=S_△OAB+S_△OCB
=

1

2

OA•BF+

1

2

OC•BE
=

1

2

×1×1+

1

2

×2×2
=

5

2

．

（2）∵点P的坐标为（-1，a），
∴点P在直线x=-1上，如图2．
设直线AC的解析式为y=kx+b，
∵点A的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，2），
∴

k+b=0 b=2

，
解得：

k=-2 b=2

，
∴直线AC的解析式为y=-2x+2．
∵S_△PAC=S_△OAC，
∴点P、点O到AC的距离相等，
∴OP∥AC，
∴直线OP的解析式为y=-2x，
∴a=-2×（-1）=2，
∴a的值是2．

点评：本题主要考查了用待定系数法求直线的解析式、等积变换、解方程组等知识，运用割补法是解决第（1）小题的关键，运用等积变换是解决第（2）小题的关键．