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【题目】在平面直角坐标系中,将一点(横坐标与纵坐标不相等)的横坐标与纵坐标互换后得到的点叫这一点的互换点,如(-3,5)与(5,-3)是一对互换点

(1)任意一对互换点能否都在一个反比例函数的图象上?为什么?

(2)M、N是一对互换点,若点M的坐标为,求直线MN的表达式(用含的代数式表示);

(3)在抛物线的图象上有一对互换点A、B,其中点A在反比例函数的图象上,直线AB经过点P(),求此抛物线的表达式.

【答案】(1)不一定(2)直线MN的表达式为y=x+m+n(3)抛物线的表达式为y=x22x1

【解析】

试题分析:(1)设这一对互换点的坐标为(a,b)和(b,a).当ab=0时,它们不可能在反比例函数的图象上,当ab0时,由可得,于是得到结论;

(2)把M(m,n),N(n,m)代入y=cx+d,即可得到结论;

(3)设点A(p,q),则,由直线AB经过点P(),得到p+q=1,得到q=1或q=2,将这一对互换点代入y=x2+bx+c得,于是得到结论.

试题解析:(1)不一定,

设这一对互换点的坐标为(a,b)和(b,a).

当ab=0时,它们不可能在反比例函数的图象上,

当ab0时,由可得,即(a,b)和(b,a)都在反比例函数(k0)的图象上;

(2)由M(m,n)得N(n,m),设直线MN的表达式为y=cx+d(c0).

则有解得

直线MN的表达式为y=x+m+n;

(3)设点A(p,q),则

直线AB经过点P(),由(2)得

p+q=1,

解并检验得:p=2或p=1,

q=1或q=2,

这一对互换点是(2,1)和(1,2),

将这一对互换点代入y=x2+bx+c得,

解得

此抛物线的表达式为y=x22x1.

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