Question

如图，抛物线y=

1

2

x²+3ax-4a与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，-2）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上有一动点P，求PB+PC的值最小时的点P的坐标；
（3）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A、C、M、N四点为顶点构成的四边形为平行四边形？若存在，求出所有点N的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）将C点坐标代入求出a值，继而可得出抛物线的解析式；
（2）根据题意及二次函数的图象可知，当点P为AC和对称轴的交点时，PB+PC的值最小，求出点P的坐标；
（3）本题应分情况讨论：将AC平移，令C点落在x轴（即M点）、A点落在抛物线（即N点）上，可根据平行四边形的性质，得出N点纵坐标，代入抛物线的解析式中即可求得N点坐标．

解答：解：（1）∵抛物线y=

1

2

x²+3ax-4a过点C（0，-2），
∴-4a=-2，
∴a=

1

2

，
∴y=

1

2

x²+

3

2

x-2；
（2）如图1所示，连接PA、PB、PC，
∵点P在抛物线的对称轴上，
∴PB=PA，x_P=-

3

2

，
∴PB+PC=PA+PC，
要使PB+PC最小，即PA+PC最小，
点P需在AC上，
令

1

2

x²+

3

2

x-2=0，
解得：x₁=-4，x₂=1，
即点A（-4，0），B（1，0），
设直线AC的解析式为y=kx+b，
将点A、C代入解析式为：

-4k+b=0 b=-2

，
解得：

k=- 1 2 b=-2

，
解析式为：y=-

1

2

x-2，
当x=-

3

2

时，y=-

5

4

，
即当PB+PC的值最小时的点P的坐标为（-

3

2

，-

5

4

）；

（3）存在．
①当AC为对角线时，则AM∥NC，如图2所示，
易得N₁（-3，-2）；
②当AM为对角线时，AC∥MN，AC=MN，
线段MN可以看成由线段AC平移得到，
则y_N-y_A=y_M-y_C，y_N=2，
∵y=

1

2

x²+

3

2

x-2，
∴

1

2

x²+

3

2

x-2=2，
解得：x=

-3± 41

2

，
此时存在点N₂（

-3+ 41

2

，2），N₃（

-3- 41

2

，2）；
③当CN为对角线时AM∥CN，且AM=CN，
易得点N₄（-3，-2）与点N₁重合．
综上所述，点N的坐标有三种情况，分别为：
N₁（-3，-2）；N₂（

-3+ 41

2

，2），N₃（

-3- 41

2

，2）．

点评：此题考查了二次函数综合题，涉及到待定系数法求函数解析式、平行四边形的性质、二次函数的应用等知识，综合性强，难度较大，对学生综合运用知识的能力要求较高．