Question

1．△ABC内接于半径为5的⊙O，且AB=AC，底边BC=8，请你画出图形直接写出S_△ABC的值，并画出体现解法的辅助线．

Answer 1

分析 如图，作AD⊥BC于D，连结OB，根据等腰三角形的性质得BD=CD=$\frac{1}{2}$BC=4，即AD垂直平分BC，则根据垂径定理可判断点O在AD上，于是可根据勾股定理计算出OD=3，然后分类讨论：当△ABC为锐角三角形时，AD=8；当△ABC为钝角三角形时，AD=2，最后利用三角形面积公式求解．

解答 解：如图，作AD⊥BC于D，连结OB，
∵AB=AC，
∴BD=CD=$\frac{1}{2}$BC=4，
即AD垂直平分BC，
∴点O在AD上，
在Rt△OBD中，∵OB=5，BD=4，
∴OD=$\sqrt{{5}^{2}-{4}^{2}}$=3，
当△ABC为锐角三角形时，AD=5+3=8，S_△ABC=$\frac{1}{2}$×8×8=32；
当△ABC为钝角三角形时，AD=5-3=2，S_△ABC=$\frac{1}{2}$×8×2=8．

点评 本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．