Question

【题目】如图①，AE是⊙O的直径，点C是⊙O上的点，连结AC并延长AC至点D，使CD=CA，连结ED交⊙O于点B．

（1）求证：点C是劣弧的中点；

（2）如图②，连结EC，若AE=2AC=6，求阴影部分的面积．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）；

【解析】

（1）连接CE，由AE是⊙O的直径，得到CE⊥AD，根据等腰三角形的性质得到∠AEC=∠DEC，于是得到结论；
（2）连接BC，OB，OC，由已知条件得到△AED是等边三角形，得到∠A=60°，推出AE∥BC，∠BOC=60°，于是得到结论．

（1）连接CE，

∵AE是⊙O的直径，

∴CE⊥AD，

∵AC=CD，

∴AE=ED，

∴∠AEC=∠DEC，

∴ ；

∴点C是劣弧 的中点；

（2）连接BC，OB，OC，

∵AE=2AC=6，

∴∠AEC=30°，AE=AD，

∴∠AED=60°，

∴△AED是等边三角形，

∴∠A=60°，

∵，

∴ ，

∴AE∥BC，∠BOC=60°，

∴S△OBC=S△EBC，

∴S阴影=S扇形=．