Question

【题目】如图，点C，D是半圆O上的三等分点，直径AB=4，连接AD，AC，作DE⊥AB，垂足为E，DE交AC于点F．

（1）求证：AF=DF．

（2）求阴影部分的面积（结果保留π和根号）

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）；

【解析】

（1）连接OD，OC，根据已知条件得到∠AOD=∠DOC=∠COB=60°，根据圆周角定理得到∠CAD=∠ADE=30°，于是得到结论；
（2）由（1）知，∠AOD=60°，推出△AOD是等边三角形，OA=2，得到DE= ，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论

（1）证明：连接OD，OC，

∵C、D是半圆O上的三等分点，

∴==，度数都是60°，

∴∠AOD=∠DOC=∠COB=60°，

∴∠DAC=30°，∠CAB=30°，

∵DE⊥AB，

∴∠AEF=90°，

∴∠ADE=180°﹣90°﹣30°﹣30°=30°，

∴∠DAC∠ADE=30°，

∴AF=DF；

（2）解：由（1）知，∠AOD=60°，

∵OA=OD，AB=4，

∴△AOD是等边三角形，OA=2，

∵DE⊥AO，

∴DE=，

∴S阴影=S扇形AOD﹣S△AOD=．