Question

14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，E为AC上一点，且AE=BC，过点A作AD⊥CA，垂足为A，且AD=AC，AB、DE交于点F
（1）判断线段AB与DE的数量关系和位置关系，并说明理由
（2）连接BD、BE，若设BC=a，AC=b，AB=c，请利用四边形ADBE的面积证明勾股定理．

Answer 1

分析 （1）根据全等三角形的判定与性质，可得∠1与∠3的关系，AB与DE的关系，根据余角的性质，可得∠2与∠3的关系；
（2）根据面积的不同求法，可得答案．

解答 解：（1）AB=DE，AB⊥DE，
如图2，
∵AD⊥CA，∴∠DAE=∠ACB=90°．
在△ABC和△DEA中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=BC}\\{∠DAE=∠ACB}\\{AD=AC}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△DEA  （SAS），
AB=DE，∠3=∠1．
∵∠DAE=90°，
∴∠1+∠2=90°，
∴∠3+∠2=90°，
∴∠AFE=90°，
∴AB⊥DE；
（2）S_{四边形ADBE}=S_△ADE+S_△BDE=$\frac{1}{2}$DE•AF+$\frac{1}{2}$DE•BF=$\frac{1}{2}$DE•AB=$\frac{1}{2}$c²，
S_{四边形ADBE}=S_△ABE+S_△ABD=$\frac{1}{2}$a²+$\frac{1}{2}$b²，
∴$\frac{1}{2}$a²+$\frac{1}{2}$b²=$\frac{1}{2}$c²，
∴a²+b²=c²．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了全等三角形的判定与性质，余角的性质，面积的割补法是求勾股定理的关键．