Question

4．如图，二次函数y=$\frac{1}{2}$x²+bx+c的图象与x轴交于B、C两点（点B在点C的左侧），一次函数y=kx+1的图象经过点B和二次函数图象行另一点A．其中点A的坐标为（4，3）．
（1）求二次函数和一次函数的解析式；
（2）当线段PQ取得最大值时，若点M在y轴的正半轴上，且∠BMP=90°，求点M的坐标；
（3）若抛物线上的点P在第四象限内，过点P作x轴的垂线PQ，交直线AB于点Q，求线段PQ的最大值．

Answer 1

分析 （1）先把A点坐标代入y=kx+1可求出k，从而得到一次函数解析式为y=$\frac{1}{2}$x+1，则易得B（-2，0），然后利用待定系数法求抛物线解析式；
（2）当线段PQ取得最大值时，P点坐标为（1，-3），设M（0，t）（t＞0），作PN⊥y轴于N，如图，证明Rt△BOM∽△MPN，利用相似比得到$\frac{t}{1}$=$\frac{2}{t+3}$，整理得t²+3t-2=0，然后解方程求出满足条件的t的值，从而得到点M的坐标．
（3）利用二次函数图象上点的坐标特征和一次函数图象上点的坐标特征，设P（x，$\frac{1}{2}$x²-$\frac{1}{2}$x-3），Q（x，$\frac{1}{2}$x+1），则PQ=$\frac{1}{2}$x+1-（$\frac{1}{2}$x²-$\frac{1}{2}$x-3），把解析式配成顶点式得到PQ=-$\frac{1}{2}$（x-1）²+$\frac{9}{2}$，然后根据二次函数的性质求PQ的最大值．

解答 解：（1）把A（4，3）代入y=kx+1得4k+1=3，解得k=$\frac{1}{2}$，
∴一次函数解析式为y=$\frac{1}{2}$x+1，
当y=0时，$\frac{1}{2}$x+1=0，解得x=-2，则B（-2，0），
把B（-2，0），A（4，3）代入y=$\frac{1}{2}$x²+bx+c得$\left\{\begin{array}{l}{2-2b+c=0}\\{8+4b+c=3}\end{array}\right.$，就饿得$\left\{\begin{array}{l}{b=-\frac{1}{2}}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
∴抛物线解析式为y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{1}{2}$x-3；
（2）当线段PQ取得最大值时，P点坐标为（1，-3），设M（0，t）（t＞0），
作PN⊥y轴于N，如图，
∵∠BMP=90°，即∠BMO+∠PMN=90°，
而∠MBO+∠BMO=90°，
∴∠MBO=∠PMN，
∴Rt△BOM∽△MPN，
∴$\frac{OM}{PN}$=$\frac{BO}{MN}$，即$\frac{t}{1}$=$\frac{2}{t+3}$，
整理得t²+3t-2=0，解得t₁=$\frac{-3+\sqrt{17}}{2}$，t₂=$\frac{-3-\sqrt{17}}{2}$（舍去），
∴点M的坐标为（0，$\frac{-3+\sqrt{17}}{2}$）．
（3）设P（x，$\frac{1}{2}$x²-$\frac{1}{2}$x-3），则Q（x，$\frac{1}{2}$x+1），
∴PQ=$\frac{1}{2}$x+1-（$\frac{1}{2}$x²-$\frac{1}{2}$x-3）
=-$\frac{1}{2}$x²+x+4
=-$\frac{1}{2}$（x-1）²+$\frac{9}{2}$，
∴当x=1时，PQ最大，最大值为$\frac{9}{2}$；

点评 本题考查了二次函数综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和一次函数图象上点的坐标特征；会运用待定系数法求二次函数解析式；会运用三角形相似的性质计算相应线段的长或表示线段之间的关系．