Question

18．在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，以BC为边作?BCEF，以AE为斜边在同一侧作等腰直角三角形ADE，连接CD、CF．
（1）如图1，若?BCEF为矩形，则CF与CD的数量关系是CF=$\sqrt{2}$CD；
（2）如图2，探究CF与CD的数量关系，并证明．

Answer 1

分析 （1）如图1中，结论：CF=$\sqrt{2}$CD，作DM⊥AC，DN⊥EF垂足分别为M、N，连接DF，只要证明△DMC≌△DNF即可．
（2）如图2中，结论：CF=$\sqrt{2}$CD．作DM⊥AC，DN⊥EF垂足分别为M、N，连接DF，延长FE交AC于H，先证明△ADM≌△EDN再证明△DMC≌△DNF即可．

解答 解：（1）如图1中，结论：CF=$\sqrt{2}$CD．
理由：作DM⊥AC，DN⊥EF垂足分别为M、N，连接DF．
∵AD=DE，∠ADE=90°，DM⊥AE，
∴AM=ME，
∴DM=AM=ME，
∵∠DME=∠MEN=∠DNE=90°，
∴四边形DMEN是矩形，
∵MD=ME，
∴四边形DMEN是正方形，
∴DM=DN=AM，∠MDN=90°，
∵AC=BC=EF，
∴CM=NF，
在△DMC和△DNF中，
$\left\{\begin{array}{l}{DM=DN}\\{∠DMC=∠DNF=90°}\\{CM=NF}\end{array}\right.$，
∴△DMC≌△DNF，
∴CD=DF，∠CDM=∠FDN，
∴∠CDF=∠MDN=90°，
∴△CDF是等腰直角三角形，
∴CF=$\sqrt{2}$CD．
故答案为CF=$\sqrt{2}$CD．
（2））如图2中，结论：CF=$\sqrt{2}$CD．
理由：作DM⊥AC，DN⊥EF垂足分别为M、N，连接DF，延长FE交AC于H．
∵四边形BCEF是平行四边形，
∴BC=EF=AC，EF∥BC，
∴∠AHF=∠ACB=90°，
∵∠DMH=∠MHN=∠DNH=90°，
∴四边形DMHN是矩形，
∴∠MDN=90°，
∵∠ADE=∠MDN=90°，
∴∠ADM=∠EDN，
在△ADM和△EDN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AMD=∠DNE}\\{∠ADM=∠EDN}\\{AD=DE}\end{array}\right.$，
∴△ADM≌△EDN，
∴AM=EN，DM=DN，
∴CM=FN，
在△DMC和△DNF中，
$\left\{\begin{array}{l}{DM=DN}\\{∠DMC=∠DNF=90°}\\{CM=NF}\end{array}\right.$，
∴△DMC≌△DNF，
∴CD=DF，∠CDM=∠FDN，
∴∠CDF=∠MDN=90°，
∴△CDF是等腰直角三角形，
∴CF=$\sqrt{2}$CD．

点评 本题考查平行四边形的性质、矩形的性质、正方形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形，学会常用辅助线的添加方法，属于中考常考题型．