Question

【题目】如图，△ABC中，AB＝BC＝AC＝12cm，现有两点M、N分别从点A．点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为2cm/s，点N的速度为3cm/s．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动．

（1）点M、N运动　 　秒后，△AMN是等边三角形？

（2）点M、N在BC边上运动时，运动　 　秒后得到以MN为底边的等腰三角形△AMN？

（3）M、N同时运动几秒后，△AMN是直角三角形？请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）点M、N运动3秒或秒或10秒或9秒后，△AMN为直角三角形．

【解析】

（1）当AM＝AN时，△MNA是等边三角形．设运动时间为t秒，构建方程即可解决问题；

（2）点M、N在BC边上运动时，满足CM＝BN时，可以得到以MN为底边的等腰三角形△AMN．构建方程即可解决问题；

（3）据题意设点M、N运动t秒后，可得到直角三角形△AMN，分四种情况讨论即可．

（1）当AM＝AN时，△MNA是等边三角形，设运动时间为t秒

则有：2t＝12﹣3t

解得t＝

故点M、N运动秒后，△AMN是等边三角形；

（2）点M、N在BC边上运动时，满足CM＝BN时，可以得到以MN为底边的等腰三角形△AMN

则有：2t﹣12＝36﹣3t

解得t＝

故运动秒后得到以MN为底边的等腰三角形△AMN；

（3）设点M、N运动t秒后，可得到直角三角形△AMN

①当M在AC上，N在AB上，∠ANM＝90°时，如图

∵∠A＝60°

∴∠AMN＝30°

∴AM＝2AN

则有2t＝2（12﹣3t）

∴t＝3；

②当M在AC上，N在AB上，∠AMN＝90°时，如图

∵∠A＝60°

∴∠ANM＝30°

∴2AM＝AN

∴4t＝12﹣3t

∴t＝；

③当M、N都在BC上，∠ANM＝90°时，如图

CN＝3t﹣24＝6

解得t＝10；

④当M、N都在BC上，∠AMN＝90°时，则N与B重合，M正好处于BC的中点，如图

此时2t＝12+6

解得t＝9；

综上所述，点M、N运动3秒或秒或10秒或9秒后，△AMN为直角三角形．