Question

1．已知关于x的一元二次方程x²-2x+3m-1=0有两个实数根分别为x₁，x₂．
（1）求m的取值范围；
（2）若|x₁-x₂|=1，求m的值；
（3）将m表示为x的二次函数，求该二次函数的最大（或最小）值．

Answer 1

分析 （1）根据关于x的一元二次方程x²-2x+3m-1=0有两个实数根分别为x₁，x₂，得出b²-4ac≥0，然后代入求解即可；
（2）根据根与系数的关系得出x₁+x₂=2，x₁x₂=3m-1，再把|x₁-x₂|=1进行变形，即可求出m的值；
（3）根据题意得出m=-x²+2x+1=-（x-1）²+2，再根据二次函数的性质即可得出答案．

解答 解：（1）∵x²-2x+3m-1=0有两个实数根分别为x₁和x₂，
∴b²-4ac=（-2）²-4（3m-1）≥0，
∴m≤$\frac{2}{3}$；

（2）∵x₁+x₂=2，x₁x₂=3m-1，
∴|x₁-x₂|²=|（x₁+x₂）²-4x₁x₂|=|4-4（3m-1）|=4|2-3m|=1，
∴2-3m=±$\frac{1}{4}$，
∴m=$\frac{7}{12}$或$\frac{3}{4}$（不合题意，舍去），
∴m=$\frac{7}{12}$；

（3）∵m=-x²+2x+1=-（x-1）²+2，
∴当x=1时，m有最大值，最大值是2．

点评 本题考查了根的判别式、根与系数的关系与二次函数的最值问题，一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．